《数学新设计同步湘教必修三课件：第六章 立体几何初步 章末复习6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新设计同步湘教必修三课件：第六章 立体几何初步 章末复习6（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学 必修3 湘教版 章末复习 一 空间几何体的结构特征 1 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每 相邻两个四边形的公共边互相平行 棱锥 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点 的三角形 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的 这三种几何体都是多面体 2 圆柱 圆锥 圆台 球是由平面图形矩形 直角三角形 直角梯形 半圆面旋转而成的 它们都称为旋转体 在研究它们的结构特征以及解决应用问题时 常需作它 们的轴截面或截面 3 由柱 锥 台 球组成的简单组 合体 研究它们的结构 特征实质是将它们分解成多个基本几何体 二 空间几何体的画法 1 斜二测画法 主要用于水平放置的平面图形或
2、立体图形的画法 它的主要 步骤 1 画轴 2 画平行于x y z轴的线段分别为平行于 x y z 轴的线段 3 截线段 平行于x z轴的线段的长度 不变 平行于y轴的线段的长度变为原来的一半 2 三视图画法 它包括正视图 左视图 俯视图三种 画图时要遵循 长 对正 高平齐 宽相等 的原则 同时还要注意被挡住的 轮廓线画成虚线 可见线用细实线 画出 三 几何体的表面积和体积的有关计算 1 几何体的侧面积和表面积是两个不同的概念 表面积不 仅仅包括侧面积 还包括底面面积 2 多面体的展开图是由多个平面图形组成的 计算其表面 积需分别计算各个面的面积 之后相加即可 对于圆柱 侧面展开图是矩形 圆锥
3、侧面展开图是 扇形 圆台 侧面展开图是扇环 要分别弄清展开图中 各数据与原几何体相应量之间的关系 球的表面不能展开为平面图形 其表面积公式为S 4 R2 四 线线关系 空间两条直线的位置关系有相交 平行 异面三种 两直 线垂直有 相交垂直 与 异面垂直 两种情况 1 证明线线平行的方法 线线平行的定义 公理3 平行于同一条直线的两条直线互相平行 线面平行的性质定理 a a b a b 线面垂直的性质定理 a b a b 面面平行的性质定理 a b a b 2 证明线线垂直的方法 线线垂直的定义 两条直线所成的角是直角 在研究 异面直线所成的角时 要通过平移把异面直线转化为相 交直线 线面垂直的
4、性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 五 线面关系 直线与平面之间的位置关系有线在面内 相交 平行三种 1 证明直线与平面平行的方法 线面平行的定义 判定定理 a b a b a 平面与平面平行的性质 a a 六 面面关系 两个平面之间的位置关系有平行 相交两种 1 证明平面平行的方法 面面平行的定义 面面平行的判定定理 a b a b a b A 线面垂直的性质定理 垂直于同一条直线的两个平面 平行 即a a 公理3的推广 平行于同一平面的两个平面平行 即 2 证明面面垂直的方法 面面垂直的判定定理 a a 3 割补法 在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比
5、时 经常要用到割补法 割补法是割法与 补法的总称 补法是把不熟悉的 或复杂的 几何体延伸或补 加成熟悉的 或简单的 几何体 把不完整的图形补成完整的 图形 如长方体 正方体等 割法是把复杂的几何体切割成 简单的几何体或体积易求的几何体 割与补是对立统一的 是一个问题的两个方面 4 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 由台 体的定义知 在某种情况下 我们可以将台体补全成锥体来 研究其体积 八 证明空间线面平行或垂直需注意的三点 1 由已知想性质 由求证想判定 2 适当添加辅助线 或面 是解题的常用方法之一 3 用定理时要先明确条件 再由定理得出相应结论 九 升降维 思想 用降维的方法把空
6、间问题转化为平面或直线问题 可以 使问题得到解决 用升维的方法把平面或直线中的概念 定义或方法向空间推广 可以从已知探索未知 是 学会学习 的重要方法 平面图形的翻折问题的分析与解决 就是升维与降维思 想方法的不断转化运用的过程 题型一 三视图与直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式 空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质 由空间几何体可以画出它的三视图 同样 由三视图可 以想象出空间几何体的形状 两者之间可以相互转化 例1 将正方体如图 1 所示截去两个三棱锥 得到如图 2 所 示的几何体 则该几何体的左视图为 答案 B 解析 还原正方体后 将D1 D A三点分别
7、向正方体右侧面 作垂线 D1A的射影为C1B 且为实线 B1C被遮挡应为虚线 跟踪演练1 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体 的直观图可以是 答案 B 解析 所给选项中 A C选项的正视图 俯视图不符合 D 选项的左视图不符合 只有B选项符合 题型二 几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的 问题 如制作物体的下料问题 材料最省问题 相同材 料容积最大问题 都涉及表面积和体积的计算 特别是 特殊的柱 锥 台 在计算中要注意其中矩形 梯形及直 角三角形等重要的平面图形的作用 对于圆柱 圆锥 圆台 要重视旋转轴所在轴截面 底面圆的作用 割补 法 构造法是常用的技
8、巧 例2 如图所示 已知三棱柱ABC A B C 侧面B BCC 的面 积是S 点A 到侧面B BCC 的距离是a 求三棱柱ABC A B C 的体积 跟踪演练2 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体 积为 题型三 空间中的平行关系 在本章中 空间中的平行关系主要是指空间中线与线 线与面及面与面的平行 其中三种关系相互渗透 在解决 线面 面面平行问题时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而利用性质定理时 其顺序相反 且 高 维 的性质定理就是 低维 的判定定理 特别注意 转化的方法总是由具体题目的条件决定 不能过于呆板 僵化 要遵循规律而不局
9、限于规律 如下图所示是平行 关系相互转化的示意图 例3 如图所示 四边形ABCD是平行四边形 PB 平面 ABCD MA PB PB 2MA 在线段PB上是否存在一点F 使平面AFC 平 面PMD 若存在 请确定点F的位置 若不存在 请说明 理由 跟踪演练3 如图 AB是圆O的直径 PA垂直圆O所在的平 面 C是圆O上的点 1 求证 BC 平面PAC 2 设Q为PA的中点 G为 AOC的重心 求证 QG 平面 PBC 证明 1 由AB是圆O的直径 得AC BC 由PA 平面ABC BC 平面ABC 得PA BC 又PA AC A PA 平面PAC AC 平面PAC 所以BC 平面PAC 2 连
10、结OG并延长交AC于点M 连结QM QO 由G为 AOC 的重心 得M为AC中点 又Q为PA中点 得QM PC 又O为AB中点 得OM BC 因为QM MO M QM 平面QMO MO 平面QMO BC PC C BC 平面PBC PC 平面PBC 所以平面QMO 平面PBC 因为QG 平面QMO 所以QG 平面PBC 题型四 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法 1 判定线线垂直的方法 线线垂直的定义 线面垂直的性质 若a b 则a b 线面垂直的性质 若a b 则a b 2 判定线面垂直的方法 线面垂直定义 一般不易验证任意性 线面垂直的判定定理 a b a c b c b c M a
11、 平行线垂直平面的传递性质 a b b a 面面垂直的性质 l a a l a 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 l l 3 面面垂直的判定方法 面面垂直的判定定理 a a 例4 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1B1 A1C1 D E分别是棱BC CC1 上的点 点D不同于点C 且AD DE F为B1C1的中点 求证 1 平面ADE 平面BCC1B1 2 直线A1F 平面ADE 证明 1 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 又AD 平面ABC 所以CC1 AD 又因为AD DE CC1 DE 平面BCC1B1 CC1 DE E 所以AD 平面BCC1B
12、1 又AD 平面ADE 所以平面ADE 平面BCC1B1 2 因为A1B1 A1C1 F为B1C1的中点 所以A1F B1C1 因为CC1 平面A1B1C1 且A1F 平面A1B1C1 所以CC1 A1F 又因为CC1 B1C1 平面BCC1B1 CC1 B1C1 C1 所以A1F 平面BCC1B1 由 1 知AD 平面BCC1B1 所以A1F AD 又AD 平面ADE A1F 平面ADE 所以A1F 平面ADE 跟踪演练4 如图 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD是正三角 形 且与底面ABCD垂直 底面ABCD是边长为 2的菱形 BAD 60 N是PB的中点 E为AD的中点 过A D N的
13、平面交PC于点M 求证 1 EN 平面PDC 2 BC 平面PEB 3 平面PBC 平面ADMN 证明 1 AD BC BC 平面PBC AD 平面PBC AD 平面PBC 又平面ADMN 平面PBC MN AD 平面ADMN AD MN 又 AD BC MN BC 又 N为PB的中点 M为PC的中点 2 四边形ABCD是边长为2的菱形 且 BAD 60 E为AD中 点 BE AD 又 PE AD PE BE E AD 平面PEB AD BC BC 平面PEB 3 由 2 知AD PB 又 PA AB 且N为PB的中点 AN PB AD AN A PB 平面ADMN 又 PB 平面PBC 平面PBC 平面ADMN 1 研究空间几何体 需在平面上画出几何体的直观图或三 视图 由几何体的直观图可画它的三视图 由三视图可 得到其直观图 同时可以通过作截面把空间几何问题转 化成平面几何问题来解决 另外 圆柱 圆锥 圆台的表面积公式 我们都是通过 展开图 化空间为平面的方法得到的 求球的切接问题 通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决 2 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路 其关系为 再见
