《数学新学案同步苏教必修二课件：第一章 立体几何初步1.3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步苏教必修二课件：第一章 立体几何初步1.3.2（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 2 空间几何体的体积 第1章 1 3 空间几何体的表面积和体积 学习目标 1 掌握柱体 锥体 台体的体积公式 会利用它们求有关几何 体的体积 2 了解球的表面积与体积公式 并能应用它们求球的表面积及 体积 3 会求简单组合体的体积及表面积 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 柱体 锥体 台体的体积公式 1 柱体的体积公式 S为底面面积 h为高 2 锥体的体积公式 S为底面面积 h为高 3 台体的体积公式 S S为上 下底面面积 h为高 4 柱体 锥体 台体的 体积公式之间的关系 V Sh 知识点二 球的表面积和体积公式 1 球的表面积公式S R为球的半径 2 球
2、的体积公式V 4 R2 知识点三 球体的截面的特点 1 球既是中心对称的几何体 又是轴对称的几何体 它的任何截面均 为圆 2 利用球半径 截面圆半径 球心到截面的距离构建直角三角形是把 空间问题转化为平面问题的主要途径 思考辨析 判断正误 1 锥体的体积等于底面面积与高之积 2 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 题型探究 例1 1 如图所示 已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱 长均为1 且AA1 底面ABC 则三棱锥B1 ABC1的体积 为 类型一 柱体 锥体 台体的体积 解析 三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积 答案解析 2 现有一个底面直径为20 cm的装有一
3、部分水的圆柱形玻璃杯 水中放 着一个底面直径为6 cm 高为20 cm的圆锥形铅锤 铅锤完全浸没在水 中 当铅锤从水中取出后 杯里的水将下降 cm 答案解析 0 6 解析 设杯里的水下降h cm 反思与感悟 1 常见的求几何体体积的方法 公式法 直接代入公式求解 等积法 如四面体的任何一个面都可以作为底面 只需选用底面积和 高都易求的形式即可 分割法 将几何体分割成易求解的几部分 分别求体积 2 求几何体体积时需注意的问题 柱 锥 台体的体积的计算 一般要找出相应的底面和高 要充分利用 截面 轴截面 求出所需要的量 最后代入公式计算 跟踪训练1 1 如图所示 在长方体ABCD A B C D
4、中 用截面截下一个棱锥C A DD 求棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比 解答 解 设AB a AD b AA c 棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为1 5 2 已知一个三棱台上 下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形 侧面是全等的等腰梯形 且侧面面积等于上 下底面面积之和 求 棱台的高和体积 解答 解 如图 在三棱台ABC A B C 中 取上 下 底面的中心分别为O O BC B C 的中点分 别为D D 则DD 是梯形BCC B 的高 又因为A B 20 cm AB 30 cm 类型二 球的表面积与体积 命题角度1 与球有关的切 接问题 例2 1 求球与
5、它的外切等边圆锥 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥 的体积之比 解答 解 如图 等边 ABC为圆锥的轴截面 截球面得圆O 设球的半径OE R AD OA OD 2R R 3R V球 V圆锥 4 9 2 设长方体的长 宽 高分别为2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 解析 长方体的体对角线是其外接球的直径 6 a2 答案解析 反思与感悟 1 正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切 称球为正方体的内切球 此时球的半径为r1 过在一个平面上的四个切点作 截面如图 2 球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点 过球心作正方 体的对角面有r2 a 如图 3 长方体的外
6、接球 长方体的八个顶点都在球面上 称球为长方体的外接球 根据球的定义 可知 长方体的体对角线是球的直径 若长方体过同一顶点的三条棱长 为a b c 则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3 如图 跟踪训练2 1 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球 则该球 的体积为 解析 由题意知 此球是正方体的内切球 根据其几何特征知 此球的直径与正方体的棱长是相等的 故可得球的直径为2 故半径为1 答案解析 2 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一个球面 上 则该球的表面积为 解析 由题意知 该三棱柱为正三棱柱 且侧棱与底面边长相等 均为a 如图 P为三棱柱上底面的中心 O为球心
7、答案解析 命题角度2 球的截面 例3 已知过球面上三点A B C的截面到球心的距离等于球半径的一 半 且AC BC 6 AB 4 求球的表面积与球的体积 解答 解 如图所示 设球心为O 球半径为R 作OO1 平面ABC于点O1 由于OA OB OC R 则O1是 ABC的外心 设M是AB的中点 由于AC BC 则O1 CM 设O1M x 易知O1M AB 又O1A O1C OO1A 90 OA R 反思与感悟 设球的截面圆上一点A 球心为O 截面圆心为O1 则 AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形 在解答球心的截面问题时 常用该直角三角形求解 并常用过球心和截面圆心的轴截面 跟踪训练3 用过
8、球心的平面将一个球分成两个半球 则两个半球的表 面积之和是原来整球表面积的 倍 解析 设球的半径为R 则S球表 4 R2 分成两个半球后 表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积 S圆 R2 两个半球的表面积之和S S球表 2S圆 6 R2 S S球表 3 2 答案解析 例4 如图 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋 如果 冰淇淋融化了 会溢出杯子吗 请用你的计算数据说明理由 类型三 组合体的体积 解答 解 不会溢出杯子 理由如下 所以V半球 V圆锥 所以冰淇淋融化了不会溢出杯子 反思与感悟 代公式计算几何体的体积时 注意柱体与锥体的体积公 式的区别 跟踪训练4 如图 在四边形ABC
9、D中 DAB 90 ADC 135 AB 5 CD 2 AD 2 求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所 得的几何体的体积 解答 解 如图 过点C作CE垂直于AD 交AD延长线于点E 则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所 在直线旋转一周所得的圆台的体积 减去 EDC绕DE 所在直线旋转一周所得的圆锥的体积 所以所求几何体的体积V V圆台 V圆锥 达标检测 答案解析 1 已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2 高为4 cm 现将它熔化后 铸成一个正方体的铜块 不计损耗 那么铸成的铜块的棱长是 cm 12345 4 解析 铜质的五棱柱的底面积为16 cm2 高为4 cm 铜质的五
10、棱柱的体积V 16 4 64 cm3 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm 则a3 64 解得a 4 cm 答案解析 2 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4 那么圆柱的体积等于 12345 2 解析 设圆柱的底面半径为r 则S侧 2 r 2r 4 r2 4 得r 1 则圆柱的体积为 r2 2r 2 答案解析 3 正方体的外接球的体积是其内切球的体积的 倍 12345 外接球的直径为正方体的体对角线 答案解析 4 设正六棱锥的底面边长为1 侧棱长为 那么它的体积为 12345 12345 5 如图 1 所示 一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm和 底面半径为3 cm的两个
11、圆柱组成的简单几何体 当这个几何体如图 2 水平 放置时 液面高度为20 cm 当这个几何体如图 3 水平放置时 液面高 度为28 cm 则这个简单几何体的总高度为 cm 29 答案解析 12345 解析 在图 2 和图 3 中 瓶子上部没有液体的部分容积相等 设这个简单几何体的总高度为h cm 则有 12 h 20 32 h 28 解得h 29 cm 1 柱体 锥体 台体的体积之间的内在关系 规律与方法 2 在三棱锥A BCD中 若求点A到平面BCD的距离h 可以先求VA BCD h 这种方法就是用等体积法求点到平面的距离 其中V一般用换 顶点法求解 即VA BCD VB ACD VC ABD VD ABC 求解的原则是V易 求 且 BCD的面积易求 3 求几何体的体积 要注意分割与补形 将不规则的几何体通过分割或补 形将其转化为规则的几何体求解 4 利用球的半径 球心到截面圆的距离 截面圆的半径可构成直角三角 形 进行相关计算 5 解决球与其他几何体的切接问题时 通常先作截面 将球与几何体的 各量体现在平面图形中 再进行相关计算
