《数学新学案同步必修四人教B全国通用课件：第二章 平面向量2.3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修四人教B全国通用课件：第二章 平面向量2.3.2（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 3 2 向量数量积的运算律 第二章 2 3 平面向量的数量积 学习目标 1 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 2 会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律 判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确 运算律实数乘法向量数量积判断正误 交换律ab baa b b a 结合律 ab c a bc a b c a b c 分配律 a b c ac bc a b c a c b c 消去律ab bc b 0 a ca b b c b 0 a c 正确 错误 正确 错误 多项式乘法向量数量积
2、 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a b a2 b2 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式 写出下表中的平面向量数量积的运算性质 a b 2 a2 2a b b2 a b 2 a2 2a b b2 a b a b a2 b2 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2c a 梳理 与多项式乘法公式类似 平面向量数量积也有相似公式 应用 公式时不要漏写数量积中的点乘符号 思考辨析 判断正误 1 向量的数量积运算满足 a b c a b c 2 已知a 0 且a
3、c a b 则b c 3 a b a b 答案 题型探究 类型一 向量数量积的运算性质 例1 给出下列结论 若a 0 a b 0 则b 0 若a b b c 则a c a b c a b c a b a c c a b 0 其中正确结论的序号是 答案 解析 因为当两个非零向量a b垂直时 a b 0 故 不正确 当a 0 b c时 a b b c 0 但不能得出a c 故 不正确 向量 a b c与c共线 a b c 与a共线 故 不正确 a b a c c a b a b a c a c a b 0 故 正确 解析 反思与感悟 向量的数量积a b与实数a b的乘积a b有联系 同时有许 多不
4、同之处 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特别是向量的数量 积不满足结合律 答案解析 解析 a b c表示与向量c共线的向量 c a b表示与向量b共线的向量 而b c不共线 所以 错误 由 b c a c a b c 0知 b c a c a b与c垂直 故 错误 向量的乘法运算符合多项式乘法法则 所以 正确 跟踪训练1 设a b c是任意的非零向量 且互不平行 给出以下说法 a b c c a b 0 b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中正确的是 填序号 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 答案 命题角度1 已知向量垂直求参数值
5、 例2 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 且b c 则t 解析 由题意 将b c b ta 1 t b 0整理 2 解析 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质 a b a b 0 解答 跟踪训练2 已知 a 3 b 2 向量a b的夹角为60 c 3a 5b d ma 3b 求当m为何值时 c与d垂直 解 由已知得a b 3 2 cos 60 3 若c d 则c d 0 c d 3a 5b ma 3b 3ma2 5m 9 a b 15b2 27m 3 5m 9 60 42m 87 0 命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例3 已知e1与e2是两个
6、互相垂直的单位向量 若向量e1 ke2与ke1 e2的 夹角为锐角 则k的取值范围为 解析 e1 ke2与ke1 e2的夹角为锐角 k 0 但当k 1时 e1 ke2 ke1 e2 它们的夹角为0 不符合题意 舍去 综上 k的取值范围为k 0且k 1 0 1 1 答案解析 解答 跟踪训练3 设两个向量e1 e2满足 e1 2 e2 1 e1 e2的夹角为 60 若向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为钝角 求实数t的取值范围 解 设向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为 2te1 7e2 e1 te2 0 当 时 也有 2te1 7e2 e1 te2 0 但此时夹角不是钝角 达标检测
7、12345 1 下面给出的关系式中正确的个数是 0 a 0 a b b a a2 a 2 a b a b a b 2 a2 b2 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 正确 错误 错误 a b 2 a b cos 2 a2 b2cos2 故选C 答案解析 12345 答案解析 A 60 B 30 C 135 D 45 解析 a b a a2 a b 0 a b a2 1 a b 135 12345 解析 3 已知平面向量a b满足 a 3 b 2 a与b的夹角为60 若 a mb a 则实数m的值为 A 1 B 0 C 2 D 3 解析 由题意得 a mb a 0 a2 ma b 答案 故选D
8、 12345 解析答案 解析 a b c 0 a b c 2 0 即 a 2 b 2 c 2 2 a b b c c a 0 3 2 a b b c c a 0 5 已知 a 2 b 1 2a 3b 2a b 9 1 求a与b之间的夹角 解答 12345 解 2a 3b 2a b 4a2 4a b 3b2 9 即16 4a b 3 9 解答 12345 2 求向量a在a b上的正射影的数量 设a与a b的夹角为 则向量a在a b上的正射影的数量为 规律与方法 1 数量积对结合律不一定成立 因为 a b c a b cos a b c是一 个与c共线的向量 而 a c b a c cos a c b是一个与b共线的向 量 若b与c不共线 则两者不相等 2 在实数中 若ab 0 则a 0或b 0 但是在数量积中 即使a b 0 也不能推出a 0或b 0 因为其中cos 有可能为0 3 在实数中 若ab bc b 0 则a c 在向量中 a b b c b 0 a c
