《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列习题课（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修五苏教课件：第二章 数列习题课（一）（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课 一 求数列的通项公式 第2章 数 列 学习目标 1 了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法 2 掌握利用递推公式求通项公式的常见方法 3 掌握利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式的方法 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 思考 你能看出数列 1 1 1 1 1 与数列 2 0 2 0 2 的联系吗 由此写出数列 2 的一个通项公式 答案 数列 1 每项加1得到数列 2 数列 1 的通项公式是an 1 n 故 数列 2 的通项公式是an 1 n 1 梳理 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 关键是
2、依托基 本数列如等差数列 等比数列 寻找an与n an与an 1的联系 知识点二 利用递推公式求通项公式 思考 还记得我们是如何用递推公式an 1 an d求出等差数列的通项 公式的吗 答案 累加法 梳理 已知递推公式求通项公式的主要思路 就是要通过对递推公式 赋值 变形 构造出我们熟悉的等差数列或等比数列 进而求出通项 公式 赋值 变形的常见方法有累加 累乘 待定系数法 换元 迭 代等 知识点三 利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式 思考 如何用数列 an 的前n项和Sn表示an 梳理 当已知Sn或已知Sn与an 的关系式 可以借助上式求出通项公式 或者得到递推公式 再由递推公式求得通项
3、公式 在应用上式时 不要忘记对n讨论 思考辨析 判断正误 1 数列可由其前四项完全确定 2 可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值 3 Sn 也是一个数列 题型探究 例1 由数列的前几项 写出数列的一个通项公式 1 3 5 3 5 3 5 类型一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 解答 解 这个数列前6项构成一个摆动数列 奇数项为3 偶数项为5 所以它 的一个通项公式为an 4 1 n 解 数列中的项以分数形式出现 分子为项数 分母比分子大1 所以 它的一个通项公式为an 解答 反思与感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列 等比数列通过加 减乘除运算得到 故解决这类问
4、题可以根据所给数列的特点 递增及增 长速度 递减及递减速度 是否摆动数列 联想基本数列 再考察它与 基本数列的关系 解 数列每一项的绝对值构成一个以1为首项 6为公差的等差数列 且奇 数项为正 偶数项为负 所以它的一个通项公式为an 1 n 1 6n 5 跟踪训练1 由数列的前几项 写出数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 25 解答 解答 命题角度1 累加 累乘 例2 1 数列 an 满足a1 1 对任意的n N 都有an 1 a1 an n 求 通项公式 类型二 利用递推公式求通项公式 解答 解 an 1 an n 1 an 1 an n 1 即a2 a1 2 a3 a2 3 an
5、an 1 n 等式两边同时相加得an a1 2 3 4 n n 2 解答 代入上式得 n 1 个等式累乘之 反思与感悟 型如an 1 an f n 的递推公式求通项可以使用累加法 步骤如下 第一步 将递推公式写成an 1 an f n 第二步 依次写出an an 1 a2 a1 并将它们累加起来 第三步 得到an a1的值 解出an 第四步 检验a1是否满足所求通项公式 若成立 则合并 若不成立 则写出分段形式 累乘法类似 跟踪训练2 1 已知在数列 an 中 a1 1 an 1 2nan n N 则数列 an 的通项公式为 答案解析 n N 经验证a1 1也符合 n N 解答 2 在数列 a
6、n 中 a1 1 an an 1 n 1 n 2 3 4 求 an 的通项公式 解 当n 1时 a1 1 命题角度2 构造等差 比 数列 例3 已知在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 3 求an 解 递推公式an 1 2an 3可以转化为an 1 t 2 an t 即an 1 2an t 则t 3 故递推公式为an 1 3 2 an 3 令bn an 3 则b1 a1 3 4 且 所以 bn 是以4为首项 2为公比的等比数列 所以bn 4 2n 1 2n 1 即an 2n 1 3 解答 反思与感悟 型如an 1 pan q 其中p q为常数 且pq p 1 0 可 用待定系数法求得通
7、项公式 步骤如下 第一步 假设将递推公式改写为an 1 t p an t 第四步 写出数列 an 通项公式 跟踪训练3 已知数列 an 满足an 1 2an 3 5n a1 6 求数列 an 的通项公式 解 设an 1 x 5n 1 2 an x 5n 将an 1 2an 3 5n代入 式 得2an 3 5n x 5n 1 2an 2x 5n 等 式两边消去2an 得3 5n x 5n 1 2x 5n 两边除以5n 得3 5x 2x 则x 1 代入 式得an 1 5n 1 2 an 5n 解答 例4 已知数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2an 4 n N 则an 类型三 利用前n项和Sn
8、与an 的关系求通项公式 解析 因为Sn 2an 4 所以Sn 1 2an 1 4 n 2 两式相减可得Sn Sn 1 2an 2an 1 即an 2an 2an 1 整理得an 2an 1 即 2 因为S1 a1 2a1 4 即a1 4 所以数列 an 是首项为4 公比为2的等 比数列 则an 4 2n 1 2n 1 2n 1 答案解析 反思与感悟 已知Sn f an 或Sn f n 解题步骤 第一步 利用Sn满足条件p 写出当n 2时 Sn 1的表达式 第二步 利用an Sn Sn 1 n 2 求出an或者转化为an的递推公式的形 式 第三步 若求出n 2时的 an 的通项公式 则根据a1
9、 S1求出a1 并代入 an 的通项公式进行验证 若成立 则合并 若不成立 则写出分段形 式 如果求出的是 an 的递推公式 则问题化归为类型二 解答 得 n 1 an 1 3nan n 2 即数列 nan 从第二项起是公比为3的等比数列 且a1 1 a2 1 于是 2a2 2 故当n 2时 nan 2 3n 2 达标检测 1 已知等比数列 an 为递增数列 且 a10 2 an an 2 5an 1 则数 列 an 的通项公式an 答案解析 1234 解析 an 单调递增 q 0 a1 q 2 故an 2n 答案解析 1234 解析 a1 a2 4 a2 2a1 1 解得a1 1 a2 3
10、再由an 1 2Sn 1 即an 2Sn 1 1 n 2 得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又a2 3a1 2 设数列 an 的前n项和为Sn 若S2 4 an 1 2Sn 1 n N 则a1 S5 1 121 答案解析 3 如果数列 an 的前n项和Sn 2an 1 则此数列的通项公式an 1234 解析 当n 1时 S1 2a1 1 a1 2a1 1 a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an 1 2an 1 1 an 2an 1 an 是首项为1 公比为2的等比数列 an 2n 1 n N 2n 1 1234 4 已知数列 an 的前n项和Sn 1 an 其中 0 证明 an 是等比数列 并 求其通项公式 由Sn 1 an Sn 1 1 an 1 得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 解答 1 不论哪种类型求通项公式 都是以等差数列 等比数列为基础 2 利用数列前若干项归纳通项公式 对无穷数列来说只能算是一种猜 想 是否对所有项都适用还需论证 3 待定系数法求通项 其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等 差数列或等比数列 只是其系数还不知道 一旦求出系数 即意味着 猜想成立 从而可以借助等差数列或等比数列求得通项 4 使用递推公式或前n项和求通项时 要注意n的取值范围 规律与方法
