《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.4.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修四人教A全国通用课件：第二章 平行向量2.4.2（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 4 2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 第二章 2 4 平面向量的数量积 学习目标 1 理解两个向量数量积坐标表示的推导过程 能运用数量积的坐 标表示进行向量数量积的运算 2 能根据向量的坐标计算向量的模 并推导平面内两点间的距离 公式 3 能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设i j是两个互相垂直且分别与x轴 y轴的正半轴同向的单位向量 思考1 i i j j i j分别是多少 答案 i i 1 1 cos 0 1 j j 1 1 cos 0 1 i j 0 思考2 取i j为坐标平面内
2、的一组基底 设a x1 y1 b x2 y2 试将a b用i j表示 并计算a b 答案 a x1i y1j b x2i y2j a b x1i y1j x2i y2j x1x2i2 x1y2 x2y1 i j y1y2j2 x1x2 y1y2 思考3 若a b 则a b坐标间有何关系 答案 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 梳理 设向量a x1 y1 b x2 y2 a与b的夹角为 数量积a b 向量垂直 x1x2 y1y2 a b x1x2 y1y2 0 知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a x y 试将向量的模 a 用坐标表示 答案 a xi yj x
3、 y R a2 xi yj 2 xi 2 2xy i j yj 2 x2i2 2xy i j y2j2 又 i2 1 j2 1 i j 0 a2 x2 y2 a 2 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 梳理 向量模长 a x y a 以A x1 y1 B x2 y2 为端点的 向量 知识点三 平面向量夹角的坐标表示 思考 设a b都是非零向量 a x1 y1 b x2 y2 是a与b的夹 角 那么cos 如何用坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 3 若两
4、个非零向量的夹角 满足cos 0 则两向量的夹角 一定是锐角 思考辨析 判断正误 答案提示 提示 当两向量同向共线时 cos 1 0 但夹角 0 不是锐角 题型探究 类型一 数量积的坐标运算 例1 1 已知a 2 1 b 1 1 则 a 2b a 3b 等于 A 10 B 10 C 3 D 3 答案解析 解析 a 2b 4 3 a 3b 1 2 所以 a 2b a 3b 4 1 3 2 10 答案解析 解析 以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴建立如图所 示平面直角坐标系 反思与感悟 数量积坐标运算的技巧 1 进行数量积运算时 要正确使用公式a b x1x2 y1y2 并能灵活运
5、用 以下几个关系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 在平面几何图形中求数量积 若几何图形规则易建系 一般先建立 坐标系 写出相关向量的坐标 再求数量积 跟踪训练1 向量a 1 1 b 1 2 则 2a b a等于 A 1 B 0 C 1 D 2 解析 因为a 1 1 b 1 2 所以2a b 2 1 1 1 2 1 0 则 2a b a 1 0 1 1 1 故选C 答案解析 类型二 平面向量的模 解答 例2 已知平面向量a 3 5 b 2 1 1 求a 2b及其模的大小 解 a 3 5 b 2 1 a 2b 3 5 2 2 1 3 4 5
6、 2 7 3 2 若c a a b b 求 c 解 a b 6 5 1 c a b 1 6 反思与感悟 求向量a x y 的模的常见思路及方法 1 求模问题一般转化为求模的平方 与向量数量积联系要灵活应用公 式a2 a 2 x2 y2 求模时 勿忘记开方 答案 解析 解析 a 2 1 a2 5 即a2 2a b b2 50 5 2 10 b2 50 b2 25 b 5 类型三 平面向量的夹角问题 答案 解析 反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 1 利用向量的坐标求出这两个向量的数量积 3 代入夹角公式求cos 并根据 的范围确定 的值 解答 解 a 1 1 b 1 跟踪训练3
7、已知a 1 1 b 1 若a与b的夹角 为钝角 求 的取值范围 又 a b的夹角 为钝角 1且 1 的取值范围是 1 1 1 类型四 平面向量的垂直问题 解答 反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直 条件代数化 若在关于三角形的问题中 未明确哪个角是直角时 要分 类讨论 跟踪训练4 已知a 3 2 b 1 0 若向量 a b与a 2b垂直 则 实数 的值为 答案 解析 解析 由向量 a b与a 2b垂直 得 a b a 2b 0 因为a 3 2 b 1 0 所以 3 1 2 1 2 0 达标检测 1 已知a 3 4 b 5 12 则a与b夹角的余弦值为 答案 1234
8、5 解析 a b 3 5 4 12 63 12345 答案解析 2 若向量a x 2 b 1 3 a b 3 则x等于 解析 a b x 6 3 故x 3 答案 1234 解析 5 3 已知向量m 1 1 n 2 2 若 m n m n 则 等于 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 因为m n 2 3 3 m n 1 1 由 m n m n 可得 m n m n 2 3 3 1 1 2 6 0 解得 3 答案解析 12345 A 3 6 B 3 6 C 6 3 D 6 3 解析 由题意设b a 2 0 又 0 3 故b 3 6 12345 5 已知a 4 3 b 1 2 1 求a与b的夹角的
9、余弦值 解答 解 a b 4 1 3 2 2 12345 2 若 a b 2a b 求实数 的值 解答 解 a b 4 3 2 2a b 7 8 a b 2a b a b 2a b 7 4 8 3 2 0 规律与方法 1 平面向量数量积的定义及其坐标表示 提供了数量积运算的两种不同 的途径 准确地把握这两种途径 根据不同的条件选择不同的途径 可以 优化解题过程 同时 平面向量数量积的两种形式沟通了 数 与 形 转化的桥梁 成为解决距离 角度 垂直等有关问题的有力工具 2 应用数量积运算可以解决两向量的垂直 平行 夹角以及长度等几何 问题 在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 3 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式 二者不能混淆 可以对比学 习 记忆 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 a b x1x2 y1y2 0 4 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时 向量夹 角问题却隐藏了许多陷阱与误区 常常会出现因模糊 两向量的夹角的 概念 和忽视 两向量夹角 的范围 稍不注意就会带来失误与错误
