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平面向量的数量积典例精析例1 平面内有向量，点X为直线OP上的一个动点。（1）当的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。分析：因为点X在直线OP上，向量共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得；而cosAXB是向量夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。解：（1）设又于是由二次函数的知识，可知当y2时，有最小值-8。此时；（2）当，即y2时，有，。说明：由于X是OP上的动点，则向量均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积也处在不确定的状态，这个数量积由的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数。另外，求出的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。例2 设平面内有两个向量。（1）证明；（2）若两个向量与的模相等，求。分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到，即可证明（1），再利用|与|相等，确定的值。证明：（1）（2）由已知，可得到注意到于是（*）式化为。由于说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知时，a与b的夹角为，因此。故，又，有（为a与b的夹角）。这时。此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形。
