《北师大数学必修二同步配套课件：第二章 解析几何初步2.3.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学必修二同步配套课件：第二章 解析几何初步2.3.3（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 3 3 空间两点间的距离公式 做一做1 一长方体的长 宽 高分别为3 4 5 则该长方体的 对角线长为 1 长方体对角线长 一般地 如果长方体的长 宽 高分别为a b c 那么对角线长 2 空间两点间的距离公式 给出空间两点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 做一做2 求下列两点间的距离 1 A 1 2 1 B 3 2 1 2 A 0 0 0 B 7 3 11 3 A 2 1 3 B 3 5 3 归纳总结空间中两点间的距离公式 是数轴上和平面上两点间的 距离公式的进一步推广 反之 它也适用于平面和数轴上两点间的 距离的求解 设P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 则
2、 当两点落在了坐标平面内或与坐标 平面平行的平面内时 此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间 的距离公式 当两点落在坐标轴上时 则公式转化为数轴上两点间 的距离公式 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 的几何意义是表示在空间直角坐标系中 动点 P x y z 与原点O 0 0 0 之间的距离 2 在坐标平面xOy上 到点A 3 2 5 B 3 5 1 距离相等的点有无数 个 3 以A 2 3 5 和B 4 1 3 为直径两端点的球面方程为 x 3 2 y 1 2 z 1 2 1 探究一探究二探究三探究四 探究一求空间两点间的距离 例1 直三棱柱ABC A1B1
3、C1中 CA CB 1 BCA 90 AA1 2 M N分别是A1B1 A1A的中点 求 MN 解 如图 以C为原点 CA CB CC1所在直线为坐标轴 建立空间直角 坐标系C xyz CA CB 1 AA1 2 探究一探究二探究三探究四 反思感悟在运用两点间的距离公式时 注意不要弄错坐标相减的 顺序 要记准 同类相减 平方相加再开方 这一规律 探究一探究二探究三探究四 变式训练1如图 正方体的棱长为1 M是所在棱的中点 N是所在棱 的四分之一分点 则M N之间的距离为 答案 B 探究一探究二探究三探究四 例2 已知点P在x轴上 且它到点P1 0 3 的距离是它到点 P2 0 1 1 的距离的
4、2倍 求点P的坐标 分析 设出点P的坐标 x 0 0 利用距离公式建立关于x的方程 求得 x的值 即得点P的坐标 解 因为点P在x轴上 设P x 0 0 解得x 1 所以点P的坐标为 1 0 0 或 1 0 0 探究二求空间中点的坐标 探究一探究二探究三探究四 反思感悟1 由空间两点间的距离求点的坐标的方法 1 若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 则可直接设出点的 坐标 利用待定系数法求解点的坐标 2 若已知一点到两个定点的距离相等 以及其他的一些条件 则 可列出关于点坐标的方程进行求解 2 已知点在坐标轴上 或者在坐标平面内 又满足某些条件 求该 点的坐标时 一般根据点所在的位置 设出点的
5、坐标 再由已知条件 列出方程求解 在设点的坐标时 要根据点的特征设参数 这样不但 可以减少参数 也能简化计算 探究一探究二探究三探究四 变式训练2在空间直角坐标系中 已知A 3 1 1 B 3 0 2 试问在y 轴上是否存在点M 满足 MA MB 解 假设在y轴上存在点M 满足 MA MB 因为点M在y轴上 所以可设为M 0 y 0 由 MA MB 解得y 1 所以在y轴上存在点M 0 1 0 满足关系 MA MB 探究一探究二探究三探究四 例3 已知三点A B C的坐标分别为A 3 2 1 B 1 3 2 C 5 4 5 求证A B C三点共线 分析 要证明三点共线 只需证明两条线段长的和等
6、于第三条线 段的长即可 证明 利用空间两点间的距离公式 所以 AC AB BC 故A B C三点共线 反思感悟证明空间三点共线的方法与证明平面三点共线的方法 是一致的 因此完成本题的关键是正确理解题意 将三点共线转化 为计算三条线段的长度问题 看是否能得到两条线段长的和等于第 三条线段的长 探究三空间两点间距离公式的综合应用 探究一探究二探究三探究四 变式训练3已知A 1 1 2 B 4 5 6 C 7 6 8 试判断 ABC的形状 并求该三角形的面积 解 由两点间的距离公式得 探究一探究二探究三探究四 例4 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆 心 以1为半径的圆 其方程为x2
7、y2 1 则在空间中 到坐标原点的距 离为1的点的轨迹是什么 试写出它的轨迹方程 分析 空间中坐标原点的坐标为 0 0 0 空间中的动点可以设为 x y z 再利用它们之间的距离为1即可求解 解 原点坐标为 0 0 0 设空间中的动点为 x y z 因为动点与原点之间的距离为1 即x2 y2 z2 1 所以空间中到坐标原点距离为1的点的轨迹是以1为半径 以原点 为球心的球面 其方程为x2 y2 z2 1 探究四求轨迹或轨迹方程 探究一探究二探究三探究四 反思感悟在空间直角坐标系中求轨迹或轨迹方程的方法与在平 面直角坐标系中基本相同 可以模仿在平面直角坐标系中求轨迹或 轨迹方程的一般方法来解决
8、即 1 建系 根据空间几何体的结构特 点建立适当的空间直角坐标系 2 设点 设出符合条件的空间中点 的坐标 并取动点的坐标 x y z 表示轨迹上任意一点M的坐标 写出 符合条件的点的集合 3 列式 利用公式将点的坐标代入关系式 列 出关于x y z的方程或方程组 4 化简 把上述方程或方程组化简为 最简形式 并注意x y z的取值范围 5 根据所得方程或方程组的特 点 准确指出方程或方程组所代表的点的轨迹是什么样的几何图 形 并注意轨迹的端点 边界等细节 探究一探究二探究三探究四 变式训练4已知点A 1 2 3 和B 2 1 4 求到这两点距离相等的点 M满足的方程 并指出该方程表示什么图形
9、 解 设M x y z 为所求的到点A B距离相等的点 因为 AM BM 将等式两边平方并化简得2x 6y 2z 7 0 这就是所求的方程 表示的图形是经过线段AB的中点 且与线段 AB所在直线垂直的平面 12345 1 点B是点A 1 2 3 在yOz平面内的投影 则 AB 为 解析 B 0 2 3 AB 1 答案 C 12345 2 若点A 3 3 6 B 1 5 2 M 3 3 2 则线段AB的中点N到M的距离为 A 5B 4C 3D 9 解析 由已知得N 2 1 4 答案 C 12345 3 若点P x y z 到A 1 0 1 B 2 1 0 两点的距离相等 则x y z满足的关 系式是 整理得2x 2y 2z 3 0 答案 2x 2y 2z 3 0 12345 4 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 M是面ABCD的中心 点P 在棱C1D1上移动 求 MP 的最小值 解 如图 以A为坐标原点 AB AD AA1所在的直线为x轴 y轴 z轴建 立空间直角坐标系 则由题意易得M 1 1 0 由题意设P x 2 2 0 x 2 所以当x 1 即P为C1D1的中点时 MP 取最小值 12345 5 在平面xOy内的直线2x y 0上确定一点M 使它到点P 3 4 5 的距 离最小 并求出最小值 解 点M在平面xOy内的直线2x y 0上 设点M a 2a 0
