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1、线 性 空 间 引 论,Department of Mathematics, College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,线 性 空 间 与 线 性 映 射,第 一 章,定理1：设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有,一,子空间的相关定理,就是 的一组基，,所以，
2、 的维数t,无关组，则,的一组向量，是它的一个极大,（1） 为 的值域；（2） &n
3、bsp; 为 的核空间； 则 是 的子空间，
4、 是 的字空间。,（1）（2）（3）,（3）若 为 的特征值，则： &nb
5、sp; 为 的子空间，称 为 的对应于特征值 的特征子空间。,证明（1）,（2）由
6、 ，再由定理知,（3）由于 是方程组 的解空间，所以 &nbs
7、p; 所以,由(2),基扩充定理,为 V 的一组基即在 V 中必定可找到 nm 个向量,设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，,定理5,为W的一组基，则这组向量必定可扩充,，使 为 V 的一组基,必定是线性无关的,既然 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量
8、不能被 线性表出，把它添加进去，则,则 线性无关，从而为R4的一组基.,二,子空间的交、和及维数定理,1. 交的概念,显然有,2, 和的概念,显然有,若 则称 为直和,V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如,并不是R3的
9、子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如,但是,皆为R3的子空间，但是它们的并集,三、子空间的交与和的有关性质,1. 设 为线性空间V的子空间,1）若 则,2）若 则,3， 为线性空间V(F)中两组向量，令：,则：,证明：而
10、 可由 线性表示 同理： 可由 线性表示，所以： 可由
11、 线性表示 即：,反之：,所以：,它也可扩充为V2的一组基,即有,令,由于线性无关，得,证：由维数公式有,例3、在 中，用分别表示齐次线性方程组,的解空间，则就是齐次线性方程组,的解空间.,证：设方程组,分别为,解：1) 任取,设,则有,在中，令,求及,
12、易知，皆为 的子空间.,练 习,解答,再求,因为，,所以，,从维数定理知,四, 论子空间的直和,情形2）是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量，即,直和的定义,例如，R3的子空间,总之，设为线性空间V的子空间，则下面,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一,1）是直和,3）,4）,证：由题设，,从而有,定理：,是直和.,练习2 ：设A是数域F上n阶可逆矩阵.任意将A分为试证：n维线性空间Fn是齐次线性方程组A1X=0的解空间V1与A2X=0的解空间V2的直和.,两个子块,证明: 由于A是可逆矩阵,那么A的所有行向量线性无关,不妨设r(A1)=r,那么显然有r(A2)=n-r.注意到,那么
13、有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).,对任意的XRn,不妨设,其中 分别是r维和n-r维向量.,那么有:,有:,令显然V为V1和V2的和.又有dimV1=n-r,dimV2=r,dim(V1+V2)=dimV=n.于是由维数公式,dim (V1+V2)+dim (V1V2)=dimV1+dimV2可知必有dim(V1V2) =0,也即V1V2=0,显然V为V1和V2的直和.,证明: 对于i=1,2,都有dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(WiW).由题目条件有dim(W1W)=dim(W2W), dim(W1+W)=dim(W2+W).,例 设W,W1,W2是向量空间V的子空间W1 W2, W1W=W2W, W1+W=W2+W.证明:W1=W2.,那么显然有dimW1=dimW2.又由W1 W2,可知W1=W2. ,再,见,
