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1、立体几何知识点总结及解题方法总结 数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章空间几何体 一、本章总知识结构 二、各节内容分析11.1空间几何体的结构1.本节知识结构21.2空间几何体三视图和直观图 11、本节知识结构1.3空间几何体的表面积与体积 11、本节知识结构。 三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容1.多面体的体积（表面积）问题；2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题“等体积代换法”。 （一）多面体的体积（表面积）问题1在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60?，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD
2、所成的角为60? （1）求四棱锥PABCD的体积；】【解】 （1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1,由POBO,于是，PO=BOtan60=3,而底面菱形的面积为23.四棱锥P-ABCD的体积V=31233=2.2如图,长方体ABCD-1111D CB A中，E、P分别是BC、11A D的中点,M、N分别是AE、1CD的中点，1AD=AA,a?AB=2,a（）求三棱锥PDEN的体积。 【解】（）111124NEP ECDPS SBC CD?矩形22215444a a a a?作1DQ CD?，
3、交1CD于Q，由11AD?面11CDDC得11AC DQ?DQ?面11BCD A在1Rt CDD?中，112255CD DDa aDQaCD a?13P DEND ENPNEPV VS DQ?2152345a a?316a?。 （二）点到平面的距离问题“等体积代换法”。 1如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CA CBCD BDAB AD?（III）求点E到平面ACD的距离。 【解】（III）设点E到平面ACD的距离为.h E ACD ACDEV V?，11.33ACD CDEhS AOS?在ACD?中，2,2,C AC DA D?2212722().222ACDS?
4、CADBOE而21331,2,242CDEAO S?31.212.772CDEACDAO ShS?点E到平面ACD的距离为21.72如图，已知正三棱柱111ABC ABC?的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱1CC上的点，且12 。 （）求点1B到平面AMN的距离。 】【解】（）过1B在面11BCC B内作直线1BH MN?，H为垂足。 又AM?平面11BCC B，所以AM?1B H。 于是1B H?平面AMN，故1B H即为1B到平面AMN的距离。 在11R BHM?中，1B H1BM151sin1125BMH?。 故点1B到平面AMN的距离为1。 3如图，已知三棱锥O
5、ABC?的侧棱OA OB OC、两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。 （1）求O点到面ABC的距离；【解】 （1）取BC的中点D，连AD、OD。 OB OC?，则OD BC AD BC?、，BC面OAD。 过O点作OHAD于H，则OH面ABC，OH的长就是所要求的距离。 22BC?，222OD OCCD?。 OA OBOA OC?，OA?面OBC，则OA OD?。 223AD OAOD?，在直角三角形OAD中，有2633OA ODOHAD?。 （另解由112363O ABC ABCV SOH OA OBOC?知63OH?）第二章点、直线、平面之间的位置关系 一、本章的知识结构
6、 二、各节内容分析12.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 11、本节知识结构2.内容归纳总结 （11）四个公理公理11如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言,A lB lA Bl?且。 公理22过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论它给出了确定一个平面的依据。 公理33如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言,P Pl Pl?且。 公理44（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言/,/a lb l a b?且。 （22）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念异面直线
7、及夹角把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b，经过空间任意一点O作直线/,/a a b b?，我们把a?与b?所成的角（或直角）叫异面直线,a b所成的夹角。 （易知夹角范围090?）定理空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 （注意会画两个角互补的图形）2.位置关系?相交直线_;共面直线平行直线_;异面直线_. （33）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种1.23/ll Al?直线在平面内.直线与平面相交直线在平面外.直线与平面平行 （44）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种1
8、./2.l?两个平面平行两个平面相交2.2直线、平面平行的判定及其性质 11、本节知识结构2.内容归纳总结 （11）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ,/a ba ba?且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。 即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ,/,/a ba b Pa b?判定的关键在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线
9、与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 /,/a a bab?平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 /,/ab ab? （22）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。 这种转化实质上就是将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。 2.3直线、平面平垂直的判定及其性质 11、本节知识结构2.内容归纳总结（一）基本概念1.直线与平面垂直如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，我
10、们就说直线l与平面?垂直，记作l?。 直线l叫做平面?的垂线，平面?叫做直线l的垂面。 直线与平面的公共点P叫做垂足。 2.直线与平面所成的角角的取值范围090?。 3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的记法二面角的取值范围0180?两个平面垂直直二面角。 （二）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ,m nm nPa ma na?、且在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。 即将“
11、线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。 ,aa?（满足条件与?垂直的平面?有无数个）判定的关键在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。 ,/abab?平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。 ,l aala?解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意从“高
12、维”到“低维”的转化，即“空间问题”到“平面问题”的转化。 三、高考考点解析第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线11异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。 异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之“转化角”、“证明”、“求角”）。 以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程其目的就是将“空间问题”转化
13、为“平面问题（角问题）”。 1如图所示，AF、DE分别是O、1O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8AD?.BC是O的直径，6AB AC?,/OE AD。 （II）求直线BD与EF所成的角。 】【解】（II）第一步将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点D作符合条件的直线。 连结DO，则ODB即为所求的角。 第二步证明B ODB就是所求的角在平面ADEF中，DE/AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形所以DO/EF所以根据定义，ODB就是所求的角。 第三步求角由题设可知底面ABCD为正方形DA平面ABCD BC?平面ABCDDABC又AFBCBC平面ADODOBCDOB为直角三角形在RtODB，10BD?82DO?82cos10ODB?（或用反三角函数表示为82aros10）2在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60?，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60? （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）】【解】 （2）取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA,FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。 在RtAOB中AO=ABcos30=3=OP,于
