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1、中考数学专题讲座 转化思想 概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到 典型例题精析 例1如图，直线y=x+2分别交x，y轴于点A、C、P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，SABP=9 （1）求P点坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧作RTx轴，T为垂足，当BRT与AOC相似时，求点R的坐标 分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值 SABP=9，涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=x+2与x轴的交
2、点，令y=0，得0=x+2， x=-4， AO=4 =9 又点P（m，n）在直线y=x+2上， n=m+2 联解、 得m=2，n=3， P（2，3） （2）令x=0，代入y=x+2中有y=2， OC=2，AOCBRT， 设BT=a，RT=b 分类讨论： 当 又由P点求出可确定反比例函数y= 又R（m+a，b）在反比例函数y=上 b= 联解、可求a，b值，进而求到R点坐标 当时，方法类同于上 例2已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a0，t0）的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B （1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？ （2）如果抛物线y1=
3、a（x-t-1）2+t2经过点B， 求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由 分析：（1）y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验 x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2， 点A在y2=x2-2x+1的抛物线上 （2）由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0， y2顶点B（1，0），因为y1过B点， 0=a（1-t-1）2+t 2at2+t2=0 t0，t20， a=-1 当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2， 它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+
4、t2x-t-1=t x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1 情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0） 而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图） 只能是FAE=90，AF2=AD2+DF2 而FD=OD-OF=t+1-1=t，AD=t2， AF2=t2+t2=AE2， FE=OE-OF=2t+1-1=2t 令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2， t0， t2-1=0，t=1 情况二：E（1，0），F（2t+1，0） 用分析法若FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即AFE为等腰直角三角形 且D为FE中点，A（t+
5、1，t2）， AD=t2，OD=t+1， AD=DE，t2=OE-OD=1-（t+1）， t2=-t， t1=0（不合题意，舍去），t2=-1 故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=1中考样题看台1已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点 （1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式； （2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且BAC=90，求此时a的值2如图，已知E是ABC的内心，A的平分线交BC于点F，且与ABC的外接圆相交于点D （1）求证：DBE=DEB；（2
6、）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长3如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于M、N，且被直线MN分成面积相等的上、下两部分 （1）求+的值； （2）求MB、NB的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN间的距离4如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30，在M的南偏东60方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？5如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB
7、=6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6），那么 （1）设POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； （2）当POQ的面积最大时，将POQ沿直线PQ翻折后得到PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由； （3）当t为何值时，POQ与AOB相似考前热身训练1已知抛物线y=（x-2）2-m2（常数m0）的顶点为P （1）写出抛物线的开口方向和P点的坐标；（2）若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B，并且APB=90，试求ABP的周长2已知m，n是关于x方程x2
8、+（2+）x+2t=0的两个根，且m2+mn=4+2，过点Q（m，n）的直线L1与直线L2交于点A（0，t），直线L1，L2分别与x轴的负半轴交于点B、C，如图，ABC为等腰三角形 （1）求m，n，t的值； （2）求直线L1，L2的解析式；（3）若P为L2上一点，且ABOABP，求P点坐标 3如图，正方形ABCD中，AB=1，BC为O的直径，设AD边上有一动点P（不运动至A、D），BP交O于点F，CF的延长线交AB于点E，连结PE （1）设BP=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当CF=2EF时，求BP的长； （3）是否存在点P，使AEPBEC（其对应关
9、系只能是AB，EE，PC）？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，请说明理由 答案:中考样题看台1（1）抛物线解析式是y=-x2-x+1 （2）由题意得： 消去c，得b=-2a-2，又抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧， b0，b=-2a-2-1，a的取值范围是-1a0 （3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又BAC=90，点A必在以BC为直径的圆上；又OABC于O，OA2=OBOC，又b=-2a-2，c=1，抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），
10、C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，x1x2=，OBOC=x1x2=x1x2=-x1x2，（x1x20），OBOC=-，又OA2=OBOD，OA=1，1=-，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-12（1）证明，由已知1=2，3=4，BED=3+1，5=2，4+5=3+1，即EBD=BED（2）BFDABD，BD2=ADFDDF：FA=1：3，AD=8，DF：AD=1：4，DF=2cm，BD2=16，DE=BD=4cm3（1），即，得MB+NB=MBNB，两边同除以MBNB得+=1（2）MBNB=，即MBNB=5，又由（1
11、）可知MB+NB=MBNB=5，MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根，x1=，x2=，MB500，不改变方向，输水线路不会穿过居民区5解：（1）OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1t=t，OP=1t=tOQ=6-t，y=OPOQ=t（6-t）=-t2+3t（0t6）（2）y=-t2+3t，当y有最大值时，t=3，OQ=3，OP=3，即POQ是等腰三角形把POQ沿PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形，点C的坐标是（3，3），A（12，0），B（0，6），直线AB的解析式为y=-x+6，当x=3时，y=3，点C不落在直线AB上（3）POQAOB时，若，即，12-2t=t，t=4
12、若，即，6-t=2t，t=2，当t=4或t=2时，POQ与AOB相似考前热身训练1（1）开口向上，P（2，-m2）（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，A（-m+2，0），B（m+2，0），AC=2-（-m+2）=m，（m0）由抛物线对称性得 PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2 APB=90， 易证AC=PC， 即m=-m2，m1=0，m2=1 m0，m=1，ABC的周长为AB+2PA=2+22（1）m=-2，n=，t= （2）L1：y2=x+， L2：y=x+ （3）过B作BP1AC于P1，则P1（，）， 过B作BP2AB于P2，则P2（-2，）3（1）y=（1x） （2）BP= （3）若AEPBEC，则，易知RtBAPRtCBE，BE=AP 设AP=t（0t1），则AE=AB-EB=1-t， ，t=，又0t1， t=，即P点存在，且AP=
