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1、2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 概率与统计概率与统计 2010 浙江理数 浙江理数 19 本题满分 l4 分 如图 一个小球从 M 处投入 通过管道自上而下落 A 或 B 或 C 已 知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的 小球落到 A B C 则分别设为 l 2 3 等奖 I 已知获得 l 2 3 等奖的折扣率分别为 50 70 90 记随变量 为获得 k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望 E II 若有 3 人次 投入 l 球为 l 人次 参加促销活动 记随机变量 为 获得 1 等奖或 2
2、 等奖的人次 求 2 P 解析 本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望 二项分布等概念 同时考查抽象概括 运算求解能力和应用意识 解 由题意得 的分布列为 50 70 90 p 3 16 3 8 7 16 则 50 70 90 3 16 3 8 7 16 3 4 解 由 可知 获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 3 16 3 8 9 16 由题意得 3 9 16 则 P 2 2 1 2 3 C 9 16 9 16 1701 4096 2010 湖南文数 湖南文数 17 本小题满分 12 分 为了对某课题进行研究 用分层抽样方法从三所高校 A B C 的相关人员中 抽取若干人组成
3、研究小组 有关数据见下表 单位 人 I 求 x y II 若从高校 B C 抽取的人中选 2 人作专题发言 求这二人都来自高校 C 的概率 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 20 本小题满分 12 分 如图 由M到N的电路中有 4 个元件 分别标为T1 T2 T3 T4 电流能通过T1 T2 T3的概率都是 p 电流能通过T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知T1 T2 T3中至少有一个能通过电 流的概率为 0 999 求p 求电流能在M与N之间通过的概率 表示T1 T2 T3 T4中能通过电流的元件个数 求 的期望 命题意图 本试题主要考查独立事件的概率 对
4、立事件的概率 互斥事件的概率及数学期望 考查分类 讨论的思想方法及考生分析问题 解决问题的能力 参考答案 点评 概率与统计也是每年的必考题 但对考试难度有逐年加强的趋势 已经由原来解答题的前 3 题的 位置逐渐后移到第 20 题的位置 对考生分析问题的能力要求有所加强 这应引起高度重视 20102010 陕西文数 陕西文数 19 本小题满分 12 分 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查 测得身高情况的统计图 如下 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人 求
5、至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的概率 解 样本中男生人数为 40 由分层出样比例为 10 估计全校男生人数为 400 有统计图知 样本中身高在 170 185cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量为 70 所以 样本中学生身高在 170 185cm 之间的频率故有 f 估计该校学生身高在 170 180cm 之 间的概率 样本中身高在 180 185cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本中身高在 185 190cm 之间的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为 故从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2
6、人得所有可能结果数为 15 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率 20102010 辽宁文数 辽宁文数 18 本小题满分 12 分 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积 选 200 只家兔做实验 将这 200 只家兔随机地 分成两组 每组 100 只 其中一组注射药物 A 另一组注射药物 B 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果 疱疹面积单位 2 mm 完成下面频率分布直方图 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面列联表 并回答能否有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积与注射药2
7、 2 物 B 后的疱疹面积有差异 附 2 2 n adbc K ab cd ac bd 解 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数 在 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数 表 3 疱疹面积小于 2 70mm疱疹面积不小于 2 70mm合计 注射药物A70a 30b 100 注射药物B35c 65d 100 合计10595200n 56 24 95105100100
8、 30356570 200 2 2 K 由于 所以有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面828 10 2 K 积有差异 2010 辽宁理数 辽宁理数 18 本小题满分 12 分 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积 选 200 只家兔做试验 将这 200 只家兔随机 地分成两组 每组 100 只 其中一组注射药物 A 另一组注射药物 B 甲 乙是 200 只家兔中的 2 只 求甲 乙分在不同组的概率 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果 疱疹面积单位 mm2 表 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 完成
9、下面频率 分布直方 图 并比 较注射两种 药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面 2 2 列 联表 并 回答能否 有 99 9 的把握认 为 注射 药物 A 后的疱疹 面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异 表 3 解 甲 乙两只家兔分 在不同组的概 率为 99 198 100 200 2100 199 C P C 4 分 i 图 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数 在 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于
10、注射药物 B 后疱疹面积的中位数 8 分 ii 表 3 2 2 200 70 6535 30 24 56 100 100 105 95 K 由于 K2 10 828 所以有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有 差异 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T T T T 电源能通过 T T T 的概 1234123 率都是 P 电源能通过 T 的概率是 0 9 电源能否通过各元件相互独立 已知 T T T 中至少有一个 4123 能通过电流的概率为 0 99
11、9 求 P 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 解析解析 本本题题考考查查了概率中的互斥事件 了概率中的互斥事件 对对立事件及独立事件的概率 立事件及独立事件的概率 1 设设出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将 T1 T2 T3 至少有一个能通至少有一个能通过电过电流用基本事件表示流用基本事件表示 并求出概率即可求得并求出概率即可求得 P 2 将 将 MN 之之间间能通能通过电过电流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求得 流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求得 20102010 江西理数 江西理数 18 本小题满
12、分 12 分 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达此门 系统会随机 即等可能 为 你打开一个通道 若是 1 号通道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随机打开一个你未到过的通道 直至走完迷宫为止 令表 示走出迷宫所需的时间 1 求的分布列 2 求的数学期望 解析 考查数学知识的实际背景 重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率 随机事件的 数学特征和对思维能力 运算能力 实践能力的考查 1 必须要走到 1 号门才能走出 可能的取值为 1 3 4 6 1 1 3 P 111 3
13、326 P 111 4 326 P 2 2 111 6 1 323 PA 分布列为 2 小时 11117 1346 36632 E 2010 安徽文数 安徽文数 18 本小题满分 13 分 某市 2010 年 4 月 1 日 4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下 主要污染物为可吸入颗粒物 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 完成频率分布表 作出频率分布直方图 根据国家标准 污染指数在 0 50 之间时 空气质量为优 在 51 100 之间时
14、 为良 在 101 150 之 间时 为轻微污染 在 151 200 之间时 为轻度污染 请你依据所给数据和上述标准 对该市的空气质量给出一个简短评价 命题意图 本题考查频数 频率及频率分布直方图 考查运用统计知识解决简单实际问题的能力 数据 处理能力和运用意识 解题指导 1 首先根据题目中的数据完成频率分布表 作出频率分布直方图 根据污染指数 确定空 气质量为优 良 轻微污染 轻度污染的天数 答对下述两条中的一条即可 1 该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平 占当月天数的 有 26 天处于良的水平 占当 1 15 月天数的 处于优或良的天数共有 28 天 占当月天数的 说明该市空气
15、质量基本良好 13 15 14 15 1346 P 1 3 1 6 1 6 1 3 2 轻微污染有 2 天 占当月天数的 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天 加上处 1 15 于轻微污染的天数 共有 17 天 占当月天数的 超过 50 说明该市空气质量有待进一步改善 17 30 规律总结 在频率分布表中 频数的和等于样本容量 频率的和等于 1 每一小组的频率等于这一组的 频数除以样本容量 频率分布直方图中 小矩形的高等于每一组的频率 组距 它们与频数成正比 小矩形 的面积等于这一组的频率 对于开放性问题的回答 要选择适当的数据特征进行考察 根据数据特征分析得 出实际问题的结
16、论 2010 重庆文数 17 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采 用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 甲 乙两单位的演出序号均为偶数的概率 甲 乙两单位的演出序号不相邻的概率 2010 重庆理数 重庆理数 17 本小题满分 13 分 I 小问 5 分 II 小问 8 分 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单位的节目集中安排在一起 若采用抽签 的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 I 甲 乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 II 甲 乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望 2010 山东文数 山东文数 19 本小题满分 12 分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为 1 2 3 4 从袋中随机抽取两个球 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为 n 求的概率 2nm 20102010 北京理数 北京理
