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1、专题六 立体几何 考试内容 空间几何体的三视图 空间几何体的表面积及体积 线与线 线与面 面与面之间的平行关系及垂直关系 点到平面 的距离 近5年新课标卷考点统计 年份 试卷类型 20142015201620172018 新课标 卷1010101015 新课标 卷1010101010 新课标 卷101010 重要考点回顾 一 简单几何体的表面积和体积的计算公式 1 圆柱 圆锥 球的表面积 c是底面周长 l为母线长 圆柱的侧面积S cl 2 rl 表面积S 2 rl 2 r2 2 r r l 圆锥的侧面积S cl rl 表面积S r2 rl r r l 球的表面积S 4 R2 2 简单几何体的体
2、积 棱柱和圆柱的体积V S底 h S为底面积 h为高 棱锥和圆锥的体积V S底 h S为底面积 h为高 球的体积V R3 特殊的正四面体 对于棱长为a的正四面体的问题可将它补成一个边长为 a的正 方体问题 对棱间的距离为 正方体的边长 正四面体的高 l正方体体对角线 正四面体的体积为 V正方体 4V小三棱锥 V正方体 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1 3 l正方体体对角线 l正方体体对角线 二 空间几何体的三视图和直观图 投影 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影 中心投影的投 影线交于一点 把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影 平行投影的投 影线是平行的 正视图 光线从几何体的前
3、面向后面正投影 得到的投影图 侧视图 光线从几何体的左边向右边正投影 得到的投影图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影 得到的投影图 画三视图的原则 正俯长相等 正侧高相同 俯侧宽一样 注 球的三视图都是圆 长方体的三视图都是矩形 三 点 直线 平面之间的位置关系 1 空间图形的公理 公理1 文字语言 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直 线上的所有点都在这个平面内 即直线在平面内 符号语言 A l B l A B l 应用 证明或说明点在平面内 线在平面内 公理2 文字语言 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 符号语言 若点C 直线AB 则点A B C确
4、定一个平面 又可记作 平面ABC 推论1 经过直线和直线外的一点 确定一个平面 推论2 经过两相交直线 确定一个平面 推论3 经过两平行直线 确定一个平面 应用 证明点或线共面 确定平面 公理3 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 有且只有一条经过这个点的公共直线 符号语言 A a A a 应用 证明多点共线 多线共点 判定两平面相交 公理4 文字语言 平行于同一直线的两条直线平行 符号语言 a b b c a c 应用 证明线线平行 2 直线 平面之间的位置关系 1 空间两条直线 异面 没有公共点 不同在任何一个平面内 2 空间角 异面直线所成角 已知两条异面直线a b 经
5、过空间任一点O 作直线a a b b 我们把a b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a与b所成的角 或夹角 如果两条异面直线所成的角是直角 那么 就说两条异面直线互相垂直 异面直线所成的角的范围为 0 90 直线与平面所成角 直线与平面斜交时 直线与其在平面内 的射影所夹的锐角叫做直线与平面的夹角 直线与平面平行或在 平面内时 直线与平面的夹角为0 直线与平面垂直时 直线与平面 的夹角为90 直线与平面夹角的范围为 0 90 3 线面关系网络图 4 线面关系判定与性质 条件 结论 线线平行线面平行面面平行垂直关系 线线 平行 如果 a b b c 那么a c 如果 a a b 那么 a b
6、如果 a b 那么a b 如果 a b 那么a b 线面 平行 如果a b a b 那么a 如果 a 那么a 面面 平行 如果 a b c d a c b d a b P 那么 如果 a b a b P a b 那么 如果 那么 如果 a a 那么 条件 结论 线线垂直线面垂直面面垂直平行关系 线线 垂直 勾股定理 两线夹角90 如果 a b 那么a b 如果三个平 面两两垂直 那么它们交 线两两垂直 如果 a b a c 那么b c 线面 垂直 如果a b a c b c b c P 那么a 如果 b a a b 那么a 如果 a b a 那么b 面面 垂直 定义 二面角 等于90 如果 a
7、 a 那么 3 距离的求法 点点 点线 点面距离 点与点之间的距离就是两点之间线 段的长 点与线 面间的距离是点到线 面垂足间线段的长 求它 们首先要找到表示距离的线段 然后再计算 注意 求点到面的距离的方法 1 直接法 直接确定点到平面的垂线段长 2 转移法 转化为另一点到该平面的距离 利用线面平行的性 质 3 体积法 利用三棱锥体积公式 1 若l m n是互不相同的空间直线 是不重合的平面 则下列命题 中为真命题的是 A 若 l n 则l n B 若 l 则l C 若l n m n 则l mD 若l l 则 考点训练 2 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直线m
8、 m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB mB AC mC AB D AC 3 给出下列关于互不相同的直线m l n和平面 的四个命题 若m l A 点A m 则l与m不共面 若m l是异面直线 l m 且n l n m 则n 若l m 则l m 若l m l m A l m 则 其中为假命题的是 A B C D 4 给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平 面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条 直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条
9、垂线 那么这两个平面互 相垂直 其中真命题的个数是 A 4B 3C 2D 1 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平 面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线 与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 6 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的是一个几何体的三 视图 则这个几何体为 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 7 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 若 内的两条相交直线分别平行于 内的
10、两条直线 则 平行于 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 解析 由两个平面平行的判定定理可知 若 内的两条相交直 线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 故知 正确 由线面平行的判定定理可知 若 外一条直线l与 内的一条 直线平行 则l和 平行 故 正确 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则
11、和 垂直 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 解析 由线面垂直的判定可知 若 内有一条直线垂直于l 虽然 有l 但也不能得出这条直线与平面 垂直 故也得不到 和 垂 直 所以 不正确 由线面垂直的判定可知 直线l与 垂直的充分必要条件是l 与 内的两条相交直线垂直 若两条直线平行 则判断不成立 故 不成立 综上可知 真命题的序号是 8 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连 线称为它的对角线 那么一个正五棱柱的对角线条数共有 A 20B 15C 12D 10 9 对于四面体ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题编 号 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线
12、 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD的三条高线的交点 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高的垂足重 合 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD的三条高线的交点 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高的垂足重合 解析 如图 易知AB与CD是异面直线 故 正确 由于A点的不确定性 可知由顶点A作四面体的高 其垂足所在的位置是不确定的 故 不正确 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 且这两条高的垂足重合 则必有AB垂直于平面ED
13、C 如图1 从而AB CD 但本题中未给出 AB CD这样的条件 故 不正确 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 解析 易知 是正确的 如图2 E F G H I J分别是各条棱的中点 则易知EFHG是平行四边形 所以EH与FG的交点是FG的中点P 同理可知IJ与FG的交点也是FG的中点P 故可知三条线段相交于一点 故 正确 综上可知 正确 10 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 A 17 B 18 C 20 D 28 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半
14、径为r 组成一个几何 体 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体 的表面积为16 20 则r A 1B 2 C 4 D 8 12 已知高为3的直棱柱ABC A B C 的底面是边长为1的正三角 形 如图所示 则三棱锥B ABC的体积为 13 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 14 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积为 15 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 16 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体 的表面积为 A 20 B 24 C 28 D 32 17 如图是一个几何体的三视图 若它的体积是 则a 18 若某几何体
15、的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积 是 cm3 19 设某几何体的三视图如图 尺寸的长度单位为cm 则该几何体 的体积为 cm3 20 如图 ABC为正三角形 AA BB CC CC 平面ABC 且3AA BB CC AB 则多面体ABC A B C 的正视图 也称主 视图 是 A B C D 21 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A 72 B 48 C 30 D 24 22 已知A B是球O的球面上两点 AOB 90 C为该球面上的动点 若三棱锥O ABC体积的最大值为36 则球O的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 23 如图是某几何体的三视图 正视图是等边三角形 侧视图和俯视 图为直角三角形 则该几何体外接球的表面积为
