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1、 第1节节 空间间几何体的结结构及其表面积积 体 积积 考试要求 1 利用实物 计算机软件等观察空间图形 认识柱 锥 台 球及 简单组 合体的结构特征 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2 知道球 棱柱 棱锥 棱台的表面积和体积的计算公式 能用公式解决简单的 实际问题 3 能用斜二测法画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱 柱及其简单组 合 的直观图 知 识 梳 理 1 空间几何体的结构特征 1 多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面 互相 且 多边形 互相 且 侧棱 相交于 但不 一定相等 延长线交于 侧面形状 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边
2、形三角形梯形 2 旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 互相平行且相等 于底 面 相交于 延长线交于 轴截面全等的 全等的 全等的 侧面展开图 垂直 一点 一点 矩形等腰三角形等腰梯形 圆 矩形扇形扇环 2 直观图 空间几何体的直观图常用 画法来画 其规则是 1 原图形中x轴 y 轴 z轴两两垂直 直观图中 x 轴 y 轴的夹角为 z 轴与x 轴 y 轴所在平面 2 原图形中平行于坐标轴的线段 直观图中仍分别 坐标轴 平行于x轴 和z轴的线段在直观图中保持原长度 平行于y轴的线段长度在直观图中 变为原来的 斜二测 45 或135 垂直 平行于 不变 一半 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面
3、展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧 2 rl rl r1 r2 l 4 空间几何体的表面积与体积公式 S底h 4 R2 微点提醒 1 台体可以看成是由锥体截得的 易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点 2 正方体的棱长为a 球的半径为R 则与其有关的切 接球常用结论如下 基 础 自 测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 3 用斜二测画法画水平放置的 A时 若 A的两边分别平行于x轴和y轴 且 A 90 则在直观图中 A 45
4、4 锥体的体积等于底面面积与高之积 解析 1 反例 由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件 但不是棱柱 2 反例 如图所示的图形满足条件但不是棱锥 3 用斜二测画法画水平放置的 A时 把x y轴画成相交成 45 或135 平行于x轴的线段还平行于x轴 平行于y轴的线 段还平行于y轴 所以 A也可能为135 4 锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一 故不正确 答案 1 2 3 4 2 必修2P10B1改编 如图 长方体ABCD A B C D 被截去一 部分 其中EH A D 剩下的几何体是 A 棱台 B 四棱柱 C 五棱柱 D 六棱柱 解析 由几何体的结构特征 剩下的几何体为五棱柱
5、答案 C 3 必修2P27练习1改编 已知圆锥的表面积等于12 cm2 其侧面展开图是一个半圆 则底面圆的半径为 解析 由题意 得S表 r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 解得r2 4 所以r 2 cm 答案 B 4 2016 全国 卷 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 答案 A 5 2017 全国 卷 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上 则该圆 柱的体积为 答案 B 6 2019 菏泽一中月考 用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图 则直观图的面积与 原矩形的面积之比为 考点一 空间几何体的结构特征 例1 1 给出下列命题 在圆柱的
6、上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 棱台的上 下底面可以不相似 但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 在四棱柱中 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 解析 1 不一定 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线 不 一定 当以斜边所在直线为旋转轴时 其余两边旋转形成的面所围成 的几何体不是圆锥 如图所示 它是由两个同底圆锥组
7、 成的几何体 错误 棱台的上 下底面相似且是对应边 平行的多边形 各侧棱延 长线交于一点 但是侧棱长不一定相等 2 不正确 根据棱柱的定义 棱柱的各个侧面都是平行四边形 但不一定全等 正确 因为两个过相对侧棱的截面的交线平 行于侧棱 又垂直于底面 正确 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC 四个面都是直角三角形 正确 由棱台的概念可知 答案 1 A 2 规律方法 1 关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念 要善于通过举反例对概念进行辨析 即要说明一个命题是错误的 只需举一个 反例 2 圆柱 圆锥 圆台的有关元素都集中在轴截面上 解题时要注意用好轴截面
8、中 各元素的关系 3 既然棱 圆 台是由棱 圆 锥定义的 所以在解决棱 圆 台问题时 要注意 还台 为锥 的解题策略 训练1 下列命题正确的是 A 两个面平行 其余各面都是梯形的多面体是棱台 B 两个面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体是棱台 C 以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围成 的旋转体是圆台 D 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析 如图所示 可排除A B选项 只有截面与圆柱的母线平行 或垂直 则截得的截面为矩形或圆 否则为椭圆 或椭圆的一部 分 答案 C 考点二 空间几何体的直观图 例2 已知正三角形ABC的边长为 a 那么 ABC的平面直观图
9、 A B C 的面积为 解析 如图 所示的实际图 形和直观图 答案 D 训练2 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45 腰和上底均 为1的等腰梯形 那么原平面图形的面积是 解析 恢复后的原图形为一直角梯形 答案 A 考点三 空间几何体的表面积 例3 1 若正四棱锥的底面边长和高都为2 则其全面积为 2 圆台的上 下底面半径分别是10 cm和20 cm 它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180 那么圆台的表面积为 结果中保留 3 如图直平行六面体的底面为菱形 若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1 Q2 则它的侧面积为 解析 1 因为四棱锥的侧棱长都相等 底面是正方形 所以 该四棱
10、锥为正四棱锥 如图 由题意知底面正方形的边长为 2 正四棱锥的高为2 2 如图所示 设圆台的上底周长为C 因为扇环的圆心角是 180 所以C SA 又C 2 10 20 所以SA 20 同理SB 40 所以AB SB SA 20 故圆台的表面积为1 100 cm2 规律方法 1 求解有关多面体侧面积的问题 关键是找到其特征几何图形 如棱 柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 边长等几何元素间的桥梁 从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何 元素间的联系 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 组合体的表面积注意衔接部分的处理 3 旋转体的表面积问题 注意其侧
11、面展开图的应用 训练3 1 圆柱的侧面展开图是边长为 6 和4 的矩形 则圆柱的表面积为 A 6 4 3 B 8 3 1 C 6 4 3 或8 3 1 D 6 4 1 或8 3 2 2 必修2P36A10改编 一直角三角形的三边长分别为6 cm 8 cm 10 cm 绕斜边旋 转一周所得几何体的表面积为 解析 1 分两种情况 以长为6 的边为高时 4 为圆柱底面周长 则2 r 4 r 2 所以S底 4 S侧 6 4 24 2 S表 2S底 S侧 8 24 2 8 3 1 以长为4 的边为高时 6 为圆柱底面周长 则2 r 6 r 3 所以S底 9 S表 2S底 S侧 18 24 2 6 4 3
12、 考点四 空间几何体的体积 例4 1 必修2P27例4改编 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 则球的体积与 圆柱的体积比V球 V柱为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 3 2 2018 天津卷 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 除面ABCD外 该正方体其余各面的中心分别为点E F G H M 如图 则四棱锥M EFGH的体积为 规律方法 1 直接法 规则几何体 对于规则几何体 直接利用公式计算即可 2 割补法 不规则几何体 当一个几何体的形状不规则时 常通过分割或者补形 的手段将此几何体变为一个或几个规则的 体积易求的几何体 然后再计算 经 常考虑将三棱锥还原为三棱柱或
13、长方体 将三棱柱还原为平行六面体 将台体 还原为锥体 3 等积法 三棱锥 利用三棱锥的 等积性 可以把任一个面作为三棱锥的底面 1 求体积时 可选择 容易计算 的方式来计算 2 利用 等积性 可求 点 到面的距离 关键是在面中选取三个点 与已知点构成三棱锥 训练4 必修2P28A3改编 如图 将一个长方体用过相邻三条棱 的中点的平面截出一个棱锥 则该棱锥的体积与剩下的几何体体 积的比为 答案 1 47 考点五 多面体与球的切 接问题 典例迁移 例5 经典母题 2016 全国 卷 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V 的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的最大
14、值是 解析 由AB BC AB 6 BC 8 得AC 10 要使球的体积V最大 则球与直三棱柱的部分面相切 若球与三个侧面相切 设底 面 ABC的内切圆的半径为r 2r 4 3 不合题意 球与三棱柱的上 下底面相切时 球的半径R最大 答案 B 迁移探究1 若本例中的条件变为 直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球 面上 若AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 求球O的表面积 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC A1B1E1C1 则球O是长方体ABEC A1B1E1C1的外接球 体对角线BC1的长为球O的直径 故S球 4 R2 169 迁移探究2 若本例中的条件变为 正四棱锥
15、的顶点都在球O的球面上 若该棱 锥的高为4 底面边长为 2 求该球的体积 解 如图 设球心为O 半径为r 规律方法 1 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 球与旋转体的组 合通常是作它们的轴截面解题 球与多面体的组合 通过多面体的一条侧棱和球 心 或 切点 接点 作出截面图 把空间问题 化归为平面问题 2 若球面上四点P A B C中PA PB PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂 直 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 训练5 2019 北京海淀区调研 三棱锥P ABC中 平面PAC 平面ABC AB AC PA PC AC 2 AB 4 则三棱锥P ABC的外接球的表面积为
16、 答案 D 思维升华 1 几何体的截面及作用 1 常见的几种截面 过棱柱 棱锥 棱台的两条相对侧棱的截面 平行于底面 的截面 旋转体中的轴截面 球的截面 2 作用 利用截面研究几何体 贯彻了空间问题 平面化的思想 截面可以把几何体 的性质 画法及证明 计算融为一体 2 棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的 所以 在解决棱台和圆台的相关问题时 常 还台为锥 体现了转化的数学思想 3 转化与化归思想 计算旋转体的侧面积时 一般采用转化的方法来进行 即将侧 面展开化为平面图形 化曲为直 来解决 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图 的形状及平面图形面积的求法 易错防范 1 求组合体的表面积时 组合体的衔接部分的面积问题 易出错 2 底面是梯形的四棱柱侧放时 容易和四棱台混淆 在识别时 要紧扣定义 以防出错 直观想象与逻辑推理 简单几何体的外接球与内切球问题 1 直观想象主要表现为利用几何图形描述问题 借助几何直观理解问题 运用空间 想象认识事物 解决与球有关的问题对该 素养有较高的要求 2 简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点 此类问题实质 是解决 球
