《高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2_1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义含解析新人教A选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2_1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义含解析新人教A选修1_1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系预习课本P48，思考并完成以下问题 1一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2什么样的两个命题有相同的真假性？3两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？1原命题与逆命题2原命题与否命题3原命题与逆否命题4四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()答案：(1)(2)2命题“若一个数是
2、负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A若一个数是负数，则它的平方不是正数B若一个数的平方是正数，则它是负数C若一个数不是负数，则它的平方不是正数D若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B3命题“若x2y2，则xy”的否命题是_答案：若x2y2，则xy4命题p：若a1，则a21；命题q：若a21，则a1，则命题p与q的关系是_答案：互为逆否命题四种命题的概念典例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)对顶角相等；(2)全等三角形的对应边相等解(1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；否命题：如果两个角不是对顶
3、角，则它们不相等；逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等四种命题的转换方法(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题注意四种命题转换时关键是把命题写成“若则”的形式 活学活用写出以下命题的逆命题、否
4、命题和逆否命题(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)当x2时，x23x20.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：若x23x20，则x2；否命题：若x2，则x23x20；逆否命题：若x23x20，则x2.四种命题真假的判断典例判断下列命题的真假(1)“正三角形都相似”的逆命题(2)“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题(3)“若m0，则x2xm0有实
5、根”的逆否命题解(1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”假命题(2)原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题(3)原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”因为方程x2xm0无实根，所以判别式14m0，解得m0，则x2xm0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x2xm0有实根，则m0”因为方程x2xm0有实根，所以判别式14m0，所以m，故逆命题为假命题2变条件若本例(3)改为判断“若m0，则mx2x10有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2x10无实根，则m0”因为方程mx2x10无实根，则m0
6、，所以判别式14m0，则m，故m0，为真命题解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可等价命题的应用典例证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab
7、0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)2，则m2n22”由于mn2，则m2n2(mn)2222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题层级一学业水平达标1设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是()A若ab，则|a|b|B若ab，则|a|b|C若|a|b|，则ab D若|a|b|，则ab解析：选D条件“ab”和结论“|a|b|”互换后得到逆命题：若|a|b|，则ab.故选D.2“在ABC中，若C90，则A，B全是锐角”的否命题为()A在ABC中，若C90，则A，B全不是锐角B在ABC中，若C90
8、，则A，B不全是锐角C在ABC中，若C90，则A，B中必有一个是钝角D以上都不对解析：选B“全是”的否定是“不全是”，故该命题的否命题为“在ABC中，若C90，则A，B不全是锐角”3命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A0 B1C2 D4解析：选C“若a3，则a6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.4若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则命题p是命题r的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D以上都不对解析：选C由四种命题的关系，知命题p与命题r互为逆否命题5在下列四个命题中，为真命题的
9、是()A“x2时，x25x60”的否命题B“若b3，则b29”的逆命题C若acbc，则abD“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：选DA中命题的否命题为“x2时，x25x60”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b29，则b3”，是假命题；C中当c0时，为假命题；D中原命题与其逆否命题等价，都是真命题6命题“若x1，则x210”的真假性为_解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x210，则x1”，因为x210，x1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题答案：假命题7已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得，若1x2成
10、立，则m1xm1也成立1m2.答案：1,28下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和，和和，和和，和9写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(
11、1)正数a的立方根不等于0；(2)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行解：(1)原命题：若a是正数，则a的立方根不等于0，是真命题逆命题：若a的立方根不等于0，则a是正数，是假命题否命题：若a不是正数，则a的立方根等于0，是假命题逆否命题：若a的立方根等于0，则a不是正数，是真命题(2)原命题：在同一平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题逆命题：在同一平面内，若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题否命题：在同一平面内，若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题逆否命题：在同一平面内，若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线
12、10判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集”判断其真假如下：抛物线yx2(2a1)xa22的图象开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a7b，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A0个B1个C2个 D4个解析：选C若c0，则ac2bc2不成立，故原命题为假命题由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题逆命题“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2命题“
