《高中数学第4章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值讲义含解析湘教选修2_2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第4章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值讲义含解析湘教选修2_2（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、43.2函数的极大值和极小值读教材填要点1极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点(2)极小值点与极小值：设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点2极大值
2、与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0上递增，在x0，b)上递减，则f(x)在xx0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0上递减，在x0，b)上递增，则f(x)在xx0处取到极小值3极值的求法(1)求导数f(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f(x)0的根；(3)检查f(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值小问题大思维1导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定义，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0处取得极值，还要看f(x)在x0两侧的符号是否异号例如f(x)x3，由f(x)3x2知f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点2函数f(x)的定义域为开
3、区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)0且f(x)极小值0.即解得a1.即a的取值范围为.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值3已知函数f(x)x33axb(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点解：f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2，当x变化
4、时，f(x)与f(x)的变化如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点a为何值时，方程x33x2a0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？巧思方程x33x2a0根的个数，即为直线ya和函数f(x)x33x2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f(x)x33x2的图象，然后借助图象判断根的个数妙解令f(x)x33x2，则f(x)的定义域为R，由f(x)3x26x0，得x0或x2.所以当x0或x2时，f(x)0；当0x2时
5、，f(x)0.函数f(x)在x0处有极大值0，在x2处有极小值4，如图所示，故当a0或a4时，原方程有一个根；当a0或a4时，原方程有两个不等实根；当4a0时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根1若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22(3)a30，解得a5.答案：D2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案：D3若a0，b0，且函数(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6 D9解析：函数的导数为(x)12x22ax2b，由函数(x)在x1处有极值，可知函数(x)在x1处的导数值为零，即122a2b0，所以ab6.由题意知a，b都是
