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1、第3章 数系的扩充与复数的引入1虚数单位i(1)i21(即1的平方根是i)(2)实数可以与i进行四则运算,进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i的幂具有周期性:i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i(nN*),则有inin1in2in30(nN*)2复数的分类复数(zabi,a,bR).3共轭复数的性质设复数z的共轭复数为,则(1)z|z|2|2;(2)z为实数z,z为纯虚数z. 4复数的几何意义5复数相等的条件(1)代数形式:复数相等的充要条件为abicdi(a,b,c,dR)ac,bd.特别地,abi0(a,bR)ab0.注意:两复数不是实数时,不能比较大小(2)几何形式:z1
2、,z2C,z1z2对应点Z1,Z2重合与重合6复数的运算(1)加法和减法运算:(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a,b,c,dR)(2)乘法和除法运算:复数的乘法按多项式相乘进行运算,即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i;复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化(时间:120分钟,总分:160分)一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在题中横线上)1(新课标全国卷改编)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z12i,则z1z2_.解析:z12i在复平面内对应点(2,1),又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z2的对应点为(2,1)
3、,则z22i,z1z2(2i)(2i)i245.答案:52(山东高考改编)若ai与2bi互为共轭复数,则(abi)2_.解析:根据已知得a2,b1,所以(abi)2(2i)234i.答案:34i3若复数z满足 (34i)z|43i|,则z的虚部为_解析:(34i)z|43i|,zi,z的虚部是.答案:4已知1ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则mni等于_解析:1ni,所以m(1n)(1n)i,因为m,nR,所以所以即mni2i.答案:2i5定义运算adbc,则满足条件42i的复数z为_解析:ziz,设zxyi,zizxiyxyixy(xy)i42i,z3i.答案:3i6在复平面内,复数对
4、应的点位于第_象限解析:i,对应的点位于第四象限答案:四7._.解析:138i.答案:138i8设a是实数,且是实数,则a等于_解析:i是实数,0,即a1.答案:19复数z满足方程4,那么复数z的对应点P组成图形为_解析:|z(1i)|z(1i)|4.设1i对应的点为C(1,1),则|PC|4,因此动点P的轨迹是以C(1,1)为圆心,4为半径的圆答案:以(1,1)为圆心,以4为半径的圆10已知集合M1,2,zi,i为虚数单位,N3,4,MN4,则复数z_.解析:由MN4,知4M,故zi4,z4i.答案:4i11若复数z满足|z|,则z_.解析:设zabi(a,bR),|z|(abi)abi,2
5、4i,解得z34i.答案:34i12若3i4,1i,i是虚数单位,则_.(用复数代数形式表示)解析:由于3i4,1i,i是虚数单位,所以(1i)(3i4)54i.答案:54i13复数z满足|z1|z1|2,则|zi1|的最小值是_解析:由|z1|z1|2,根据复数减法的几何意义可知,复数z对应的点到两点(1,0)和(1,0)的距离和为2,说明该点在线段y0(x1,1)上,而|zi1|为该点到点(1,1)的距离,其最小值为1.答案:114已知关于x的方程x2(12i)x(3m1)0有实根,则纯虚数m的值是_解析:方程有实根,不妨设其一根为x0,设mai代入方程得x(12i)x0(3ai1)i0,
6、化简得,(2x01)ixx03a0,解得a,mi.答案:i二、解答题(本大题共6个小题,共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)计算:(1);(2).解:(1)2.(2)i.16(本小题满分14分)求实数k为何值时,复数(1i)k2(35i)k2(23i)分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零解:由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当k25k60时,zR,k6或k1.(2)当k25k60时,z是虚数,即k6且k1.(3)当时,z是纯虚数,k4.(4)当时,z0,解得k1.综上,当k6或k1时,zR.当k6
7、且k1时,z是虚数当k4时,z是纯虚数,当k1时,z0.17(本小题满分14分)已知复数z满足|z|13iz,求的值解:设zabi(a,bR),由|z|13iz,得13iabi0,则所以所以z43i.则34i.18(本小题满分16分)已知i.(1)求2及21的值;(2)若等比数列an的首项为a11,公比q,求数列an的前n项和Sn.解:(1)22ii.2110.(2)由于210,k2k1kk(21)0,kZ.Sn12n1Sn19(本小题满分16分)已知z(aR且a0),复数z(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数的模解:把z(a0)代入中,得i.由,得a24.又a0,所以a2.所以|3i|.20(本小题满分16分)已知复数z满足|z|,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,zz2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积解:(1)设zabi(a,bR),由已知条件得:a2b22,z2a2b22abi,所以2ab2.所以ab1或ab1,即z1i或z1i.(2)当z1i时,z2(1i)22i,zz21i,所以点A(1,1),B(0,2),C(1,1),所以SABC|AC|1211;当z1i时,z2(1i)22i,zz213i.所以点A(1,1),B(0,2),C(1,3),所以SABC|AC|1211.即ABC的面积为1.8