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1、全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题14排列组合真题汇编与预赛典型例题1【2019年全国联赛】将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 .【答案】498【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！2、0相邻的不同8位数：5!2.1、9相邻的不同8位数：5!-4!2.2、0与1、9均相邻的不同8位数：4!2!2!故所求的8位数个数为：(6!-5!)-5!2-5!-4!2+4!2!2!=498.2【2011年全国联赛】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人
2、参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为_（用数字作答）.【答案】15000【解析】由题意知满足条件的方案有两种情形：1.有一个项目有3人参加，共有C735!-C515!=3600种方案；2.有两个项目各有2人参加，共有12C72C525!-C525!=11400种方案.故所求的方案数为3600+11400=15000.故答案为：150003【2017年全国联赛】将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边.试求分隔边条数的最小值。【答案】56【解析】记分隔边的条数为L。首先,将方格表按图分成三个区域，分别
3、染成三种颜色，粗线上均为分隔边。此时,共有56条分隔边，即L=56。其次证明:L56。将方格表的行从上至下依次记为A1,A2,A33,列从左至右依次记为B1,B2,B33。行Ai中方格出现的颜色数记为nAi,列Bi中方格出现的颜色个数记为nBi。三种颜色分别记为c1,c2,c3，对于一种颜色cj设ncj为含有cj色方格的行数与列数之和。定义Ai,cj=1,行含有色格；0,否则 类似地定义Bi,cj.所以i=133n(Ai)+nBi=i=133j=13Ai,cj+Bi,cj=j=13ncj由于染cj色的格有13332=363个,设含有cj色方格的行有a个、列有b个,则cj色的方格一定在这a行和b
4、列的交叉方格中。从而,ab363所以ncj=a+b2ab236338ncj39j=1,2,3 由于在行Ai中有nAi种颜色的方格，于是,至少有nAi-1条分隔边。类似地,在列Bj中,至少有nBj-1条分隔边。则Li=133nAi-1+i=133nBi-1=i=133nAi+nBi-66 =j=13ncj-66 下面分两种情形讨论。1.有一行或一列所有方格同色。不妨设有一行均为c1色则方格表的33列中均含有c1色的方格，又c1色方格有363个，故至少有11行含有c1色方格.于是，nc111+33=44 由式、得Lnc1+nc2+nc3-6644+39+39-66=56(2)没有一行也没有一列的所
5、有方格同色.则対任意1i33均有nAi2,nBi2,从而，由式知;Li=133nAi+nBi-66334-66=6656综上，分割边条数的最小值为56.4【2016年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【答案】15【解析】以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图G.下面证明：图G的边数不超过15.设图G的顶点为v1,v2,v10，共有k条边，用degvi表示顶点vi的度.若degvi3对i=1,2,10均成立，则k=12i=110degvi12103=15.假设存在顶点vi满
6、足degvi4.不妨设degvi=n4，且v1与v2,v3,vn+1均相邻.于是，v2,v3,vn+1之间没有边，否则，就形成三角形.从而，v1,v2,vn+1之间恰有n条边.对每个jn+2j10，vj至多与v2,v3,vn+1中的一个顶点相邻（否则，设vj与vs、vt 2stn+1相邻，则v1、vs、vj、vt就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾）.从而，v2,v3,vn+1与vn+2,vn+3,v10之间的边数至多为10-n+1=9-n.在vn+2,vn+3,vn这9-n个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有9-n24条边.因此，图G的边数为kn+9-n+9-n24
7、=9+9-n249+254=15.如图所示给出的图共有15条边，且满足要求.综上，所求边数的最大值为15.5【2010年全国联赛】一种密码锁的密码设置是在正n边形A1,A2,An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？【答案】当n为奇数时，有3n+1种；当n为偶数时，有3n+3种.【解析】对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上a；若颜色不同，则标上b；若数字和颜色都相同，则标上c.于是，对于给定的点A1上的设置（共有4
8、种），按照边上的字母可以依次确定点A2,A3,An上的设置.为了使得最终回到A1时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条.所以，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a、b、c使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍.设标有a的边有2i（0in2）条，标有b的边有2j（0jn-2i2）条.选取2i条边标记a的有Cn2i种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有第Cn-2i2j种方法，其余的边标记c.由乘法原理知共有Cn2iCn-2i2j种标记方法.对i、j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为fn=4i=0n2Cn2ij=0n-2i2Cn-2i2j. 这里，约定C00=1
9、.当n为奇数时，n-2i0，此时，j=0n-2i2Cn-2i2j=2n-2i-1. 代入式中得fn=4i=0n22n-2i-1Cn2i=2i=0n22n-2iCn2i=k=0n2n-kCnk+k=0n2n-k-1kCnk=2+1n+2-1n=3n+1.当n为偶数时，若i0，-b24a0.故a0.因此，这样的二次函数有A31A41=12个.若顶点在第三象限，则有-b2a0，-b24a0，b0.这样的二次函数有A42=12个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有A31A41+A42=24个.故答案为：244【2018年湖南】|x|+1|x|-23的展开式中常数项为_.【答案】-20 【解析】因为|
10、x|+1|x|-23=|x|-1|x|6.所以T4=(-1)3C63(|x|)31|x|3=-20.故答案为：-205【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，mn4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n40的数组（m，n）的个数为_.【答案】3【解析】记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两个球”为事件C，则PA=Cm2Cm+n2，PB=Cn2Cm+n2，PC=Cm1Cn1Cm+n2.依题意得PA+PB=PC，即Cm2+Cn2=Cm1Cn1.所以m+n=m-n2，从而m+n为完全平方数.又由mn4及m+n4
11、0，得9m+n40.所以m+n=9,m-n=3,或m+n=16,m-n=4,或m+n=25,m-n=5,或m+n=36,m-n=6,.解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）.故符合题意的数组（m，n）有3个.故答案为：36【2018年河南】将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录kkn个点的颜色，称为该圆的一个“k阶色序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有_个【答案】8 【解析】“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有222=8种一方面，n个点可以构成n个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个另一方面，若n=8，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件故该圆中等分点的个数最多可有8个7【2018年浙江】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有_个既约分数.【答案】36【解析】在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有2C31C51=30 种；
