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1、高观点下的初中数学教学 合肥师范学院数学系 中学数学教学 编辑部 张 新 全 副教授 硕导 注册责任编辑 初中数学中的几个关键词 数 运算与运算法则 式子 运算与运算法则 图形 变换 函数 概率统计 一 数 1 自然数 自然数是人们认识的所有数中最基本的 一类 为了使数的系统有严密的逻辑基础 19世纪的数学家建立了自然数的两种等 价的理论 自然数的序数理论和基数理论 使自然数的概念 运算和有关性质得到严 格的论述 序数理论是意大利数学家G 皮亚诺提出来的 他总结了自然数的性质 用公理法给出自然数 的如下定义 皮亚诺公理 自然数集N是指满足以下条件的集合 N中有一个元素 记作0 N中每一个元素
2、都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者 0不是任何元素的后继者 不同元素有不 同的后继者 归纳公理 N的任一子集M 如果0 M 并且只要n在M中就能推出n的后 继者也在M中 那么M N 康托的基数理论则把自然数定义为有限集 的基数 这种理论提出 两个可以在元素之间 建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特 征 这一特征叫做基数 这样 所有单元素 集 x y a b 等具有同一基数 用集合 的形式表示 记作1 类似地 凡能与两个 手指头建立一一对应的集合 它们的基数相同 记作2 等等 自然数的加法 乘法运算可 以在序数或基数理论中给出定义 并且两种理 论下的运算及运算律是一致的 自然数集的性质
3、 1 自然数集具有可列性 可数性 自然数集 N及其等价集合都叫做 无限 可列集或可数 集 2 自然数集是有序集 自然数的顺序关系具有 对逆性 传递性和三分性 3 自然数集具有阿基米德性质 4 自然数集具有离散性 5 最小数原理 自然数集的任一非空子集中 必有一个最小数 最小数原理与归纳公理等 价 6 N N 都是可交换的半群 自然数的分类 关于0的一些争议 对于 0 它是否包括在自然数之内存在争 议 有人认为自然数为正整数 即从1开始算 起 而也有人认为自然数为非负整数 即从0 开始算起 目前关于这个问题尚无一致意见 不过 在数论中 多采用前者 而在集合论中 则多采用后者 我国传统的教科书所说
4、的自然数都是指正 整数 在国外 有些国家的教科书是把0也算 作自然数的 这本是一种人为的规定 我国为 了推行国际标准化组织 ISO 制定的国际标准 定义自然数集包含元素0 也是为了早日和 国际接轨 现行九年义务教育教科书和高级中学教科 书 试验修订本 都把非负整数集叫做自然数集 记作N 而正整数集记作N 或N 这就一改 以往0不是自然数的说法 明确指出0也是自然 数集的一个元素 0同时也是有理数 也是非 负数和非正数 注 0是偶数 2002年国际数学协会规 定 零为偶数 我国2004年也规定零为偶数 偶 数可以被2整除 0照样可以 只不过得数依然 是0而已 但是不可以说它没有缩小 2 整数 N
5、 N中序偶的等价类叫做整数 一切整数组 成的集合叫做整数集 记作Z 利用同构映射 用构造法把自然数系统 N 扩张到整数环 整数是人类能够掌 握的最基本的数学工具 整数的全体构成整数 集 整数集合是一个数环 在整数系中 自然 数为0和正整数的统称 称0为零 称 1 2 3 n n为整数 为负整数 正整数 零与负整数构成整数系 一个给定的整数n可 以是负数 n Z 非负数 n Z 零 n 0 或正数 n Z 整数的性质 1 整数集是有序环 数的顺序关系具有对逆性 传递性和三分性 2 整数集具有离散性 3 整数集是可数集 其基数等于阿列夫零 4 Z 是交换群 Z 是半群 Z 是交换环 5 不满足阿基
6、米德性质 也没有最大 最小数 整数的整除 整除的概念及其性质 如果不加特殊说明 我们所涉及的数都是整数 所采用的字母也表示整数 定义 设a b是给定的数 b 0 若存在整数c 使得a bc 则称b整除a 记作b a 并称b是a的 一个约数 因子 称a是b的一个倍数 如果不 存在上述c 则称b不能整除a 整数整除性的一些数码特征 略 整数的奇偶性 1 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶 数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数 即任意多个偶数的和 差 积仍为偶数 奇数个奇数的和 差为偶数 偶数个奇数的和 差 为奇数 2 奇数的平方都可以表示成 8m 1 的形式 偶
7、数的平方可以表示为8m或 8m 4 的形式 3 若有限个整数之积为奇数 则其中每个整 数都是奇数 若有限个整数之积为偶数 则这些整数 中至少有一个是偶数 两个整数的和与差具有相同的 奇偶性 偶数的平方根若是整数 它必为偶数 完全平方数及其性质 能表示为某整数的平方的数称为完全平方 数 简称平方数 平方数有以下性质与结论 1 平方数的个位数字只可能是0 1 4 5 6 9 2 偶数的平方数是4的倍数 奇数的平 方数被8除余1 即任何平方数被4除的余数只 有可能是0或1 3 奇数平方的十位数字是偶数 4 十位数字是奇数的平方数的个位数 一定是6 5 不能被3整除的数的平方被3除余1 能被3 整除的
8、数的平方能被3整除 因而 平方数被9 也合乎的余数为0 1 4 7 且此平方数的各位 数字的和被9除的余数也只能是0 1 4 7 6 平方数的约数的个数为奇数 7 任何四个连续整数的乘积加1 必定是一个 平方数 8 设正整数a b之积是一个正整数的k次方幂 k 2 若 a b 1 则a b都是整数的k次 方幂 一般地 设正整数a b c 之积是一个 正整数的k次方幂 k 2 若a b c 两两互 素 则a b c 都是正整数的k次方幂 3 有理数 Z Z0中序偶的等价类叫做有理数 一切有理 数组成的集合叫做有理数集 记作Q 利用同构映射 用构造法把自然数系统 Z 扩张到有理数域 整数和分数统称
9、为有理数 任何一个有理 数都可以写成分数m n m n都是整数 且n 0 的形式 从而有理数又称作分数 分数希腊 文称为 原意为 成比例的数 rational number 的意思 但中文翻译不恰当 逐渐变成 有道理的数 任何一个有理数都可以在数轴上的点来表 示 其中包括整数和通常所说的 分数 此 分 数 乃为有限小数或无限循环小数 有理数的性质 1 有理数集Q是有序域 数的顺序关系具有对 逆性 传递性和三分性 2 有理数域Q具有阿基米德性质 3 有理数集Q具有稠密性 4 有理数集Q是一个可列集 Q的基数也是阿 列夫0 它是最小的无穷大 如何理解最小的无穷大 有理数的相关概念介绍 有理数的概念
10、的内容包含有理数分类的原则 和方法 相反数 数轴 绝对值的概念和特点 1 有理数的分类 有理数包括整数和分数 整数又包括正整数 0和负整数 分数包括正分 数和负分数 分类 的原则 1 相称 不重 不漏 2 有标准 2 非负数 正数与零的统称 3 相反数 1 定义 如果两个数的和为 0 那么这两个数互为相反数 2 求相反数的公式 a的相反数为 a 3 性质 a 0时 a a a与 a在数轴上的 位置关于原点对称 两个相反数的和为0 商为 1 4 数轴 1 定义 三要素 具有原点 正方向 单位 长度的直线叫数轴 作用 直观地比较实数的大小 明确体现绝对 值意义 所有的有理数可以在数轴上表示出来 所
11、有 的无理数如 都可以在数轴上表示出来 故数轴上的点 有的表示有理数 有的表示无理数 数轴上的点与实数 是一一对应关系 5 绝对值 1 代数定义 正数的绝对值是它的 本身 0的绝对值是它的本身 负数的绝对值是它的相 反数 它是复合运算 2 几何定义 数a的绝对值顶的几何意义是实数 a在数轴上所对应的点到原点的距离 符号 是 非负数 的标志 数a的绝对值只有一个 处理任何类型的题目 只要其中有 出现 其 关键一步是去掉 符号 4 实数 无理数 即非有理数之实数 不能写作两 整数之比 若将它写成小数形式 小数点之后 的数字有无限多个 并且不会循环 常见的无 理数有大部分的平方根 和e 其中后两者同
12、 时为超越数 等 无理数的另一特征是无限的 连分数表达式 e的无理性证明 传说中 无理数最早由毕达哥拉斯学派弟 子希伯斯发现 他以几何方法证明 无法用整 数及分数表示 无理数可以通过有理数的分划的概念进行定义 我们可以用多种方法定义实数 柯西列 闭 区间套 戴德金分划等来定义实数及其运算 无理数的特性 无理数集是不可数集 因有理数集是可数的而 实数集是不可数的 无理数集是个不完备的 拓扑空间 它是与所有正数数列的集拓扑同构 的 当中的同构映射是无理数的连分数开展 因而贝尔纲定理可应用在无数间的拓扑空间上 不知是否为无理数的实数 对非零整数 及 不知道 是否无理数 无理数与无理数的四则运算的结果
13、都不知道是 否无理数 我们亦不知道2e e 或欧拉 马歇罗尼常数 是否无理数 实数的性质 1 实数集R是完备的有序域 2 实数集R具有阿基米德性质 3 实数集R是不可数集 如何证明 4 实数集R具有无限稠密性 5 实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系 实数可以分为有理数和无理数两类 或代数数和 超越数两类 或正实数 负实数和零三类 代数数可数 超越数不可数 什么是代数数 超越数 作为度量空间或一致空间 实数集是个完备空 间 它有以下性质 所有实数的柯西序列都有一个实数极限 有理数集合就不是完备空间 例如 1 1 4 1 41 1 414 1 4142 1 41421 是有理数的柯 西序列 但
14、没有有理数极限 实际上 它有个实 数极限 2 实数是有理数的完备化 这亦是 构造实数集合的一种方法 极限的存在是微积分的基础 实数的完备性 等价于欧几里德几何的直线没有 空隙 实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一 般化 最自然的扩展可能就是复数了 复数集包 含了所有多项式的根 但是 复数集不是一个 有序域 实数集扩展的有序域是超实数的集合 包 含无穷小和无穷大 它不是一个阿基米德域 有时候 形式元素 和 加入实数集 构成扩展的实数轴 它是一个紧致空间 而不 是一个域 但它保留了许多实数的性质 二 式子 用表示运算类型和运算次序的符号把数和 字母连结而成的表达形式 单独的一个数或字 母也叫解析
15、式 就初等数学而言 解析式涉及 的运算有两类 并且运算次数是有限的 一 类是初等代数运算 包括加 减 乘 除 正 整数次乘方 开方 有理数次乘方 另一类是 初等超越运算 包括无理数次乘方 指数 对 数 三角 反三角等运算 根据运算不同 解 析式分为两大类 对字母只进行初等代数运算 的解析式称为代数式 如2x2 3xy y2 等都 是代数式 对字母进行了有限次初等超越运算的解析 式 称为初等超越式 简称超越式 如log2 1 x 等都是超越式 代数式还可以再分类 对字母只进行加减乘除乘方 整数次 的代数式 叫做有理式 其余叫做无理式 有理式又可分 为有理整式和有理分式 高等数学中的解析式还涉及无
16、穷次运算 因而 需要极限理论 参照 数学 它的内容 方法和意义 一 书第二卷函数逼近论一章中的述说 所谓解析式是指初等函数或者初等函数序列 取极限所得到的函数 实际上和上面是一样的 但更加简洁和正统 代数式 用运算符号 指加 减 乘 除 乘 方 开方 把数或表示数的字母连接而成的式子 叫做代数式 数的一切运算规律也适用于代数 式 单独的一个数或者一个字母也是代数式 注意 1 不包括等于号 不等号 约等号 2 可以 有绝对值 例如 x 2 25 等 代数是由算术演变来的 这是毫无疑问的 初等代数的中心内容是解方程 因而长期以来 都把代数学理解成方程的科学 数学家们也把 主要精力集中在方程的研究上 它的研究方法 是高度计算性的 要讨论方程 首先遇到的一个问题是如何把实际中 的数量关系组成代数式 然后根据等量关系列出方程 所以初等代数的一个重要内容就是代数式 由于事物中 的数量关系的不同 大体上初等代数形成了整式 分式 和根式这三大类代数式 代数式是数的化身 因而在代 数中 它们都可以进行四则运算 服从基本运算定律 而且还可以进行乘方和开方两种新的运算 通常把这六 种运算叫做代数运算 以区别
