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1、教学月刊 中学版 教学参考2013年第1期 交变电流的有效值是根据电流的热效应来规 定的 让交流和直流分别通过相同阻值的电阻 如 果它们在相同时间内产生的热量相等 就把这一直 流的数值叫作这一交流的有效值 即用与交变电流 有相同热效应的直流来等效替代交变电流在能量 方面所产生的平均效果 现行所有版本的高中物理 教材都没有给出交变电流有效值计算公式的推导 只是直接给出了正弦全波交变电流有效值的计算 公式 而计算非正弦交变电流 如矩形波 锯齿波 等 的有效值时 不能应用正弦全波交变电流的有 效值公式 只能根据有效值的定义进行求解 本文 就来介绍正弦波 矩形波和锯齿波等几种典型交变 电流有效值计算公
2、式的推导 以加深对交变电流有 效值定义的理解 一 正弦波交变电流有效值的计算公式 1 正弦全波交变电流有效值的计算公式 根据有效值的定义可知 用与交变电流有相同 热效应的直流来等效替代交变电流在能量方面所 产生的平均效果 因交变电流的大小和方向随时间 做周期性变化 不同时刻的效果一般不同 即瞬时 功率不能反映交变电流的实际效果 通常用平均功 率来描述交变电流在一个周期内产生的平均效果 正弦交变电流的电流 i Ims i n t 和在纯电阻 R 两端所产生的电压 u Ums i n t 都随时间做周期性 变化 则交变电流在纯电阻 R 上消耗的瞬时功率为 P i2R Im 2Rs i n2 t I
3、m 2R1 c o s 2 t 2 或 P u2 R Um 2 R s i n 2 t Um 2 R 1 c o s 2 t 2 交变电流在纯电阻 R 上消耗的平均功率P 軈是瞬 时功率 P 在一个周期 T 内对时间的平均值 即 P 軈 1 2P m 其中最大功率为 Pm I m 2R 或Pm Um 2 R 1 割补法 在纯电阻电路中 由于通过电阻 R 的电流 i 和 电阻 R 两端的电压 u 相位一致 无相位差 因而任 何时刻输入到负载电阻 R 中的瞬时功率 P 都是正 值 由 或 式可得如图 所示的 P t 图像 把 P t 图线与 t 轴围成的 面积 进行割补 A a B b C c 对
4、应割 补 就会得到一个矩形 OP 軈DT 在 p t 图像 中 图线与坐标轴所包围的 面积 在数值上等于这 段时间内交变电流在负载电阻 R 上做的功 根据功 能关系 P t 图像的物理意义和交变电流有效值的 定义可得 Q W P 軈t I2RT P 軈T 或 U2 R T P 軈T 由 式可得 I Im 2姨 由 式可得 U Um 2姨 2 对称法 如图 1 所示 在一个周期内 根据对称性 P t 图像中图线与 t 轴所包围的 面积 等于矩形 OPmET 面积的一半 由 P t 图像的物理意义和交变电流有 效值的定义可得 1 2P mT I2RT 或 1 2P mT U2 R T 由 式可得
5、I Im 2姨 司德平 郑州外国语学校高中部 河南郑州4 5 0 0 0 1 图 1 P 备课参考 55 教学月刊 中学版 教学参考2013年第1期 由 式可得 U Um 2姨 2 正弦半波交变电流有效值的计算公式 若如图 2 所示的正弦半波交变电流通过电阻 R 时 那么一个周期 T 内产生的热量等于它为正弦 全波交变电流时的一半 即 U半 2 R T 1 2 U2 R T 或I半 2 RT 1 2 I2RT 而 U Um 2姨 I Im 2姨 因而可得 U半 Um 2 I半 Im 2 3 正弦单向脉动交变电流有效值的计算公式 因为电流的热效应与电流的方向无关 所以如 图 3 所示的正弦单向脉
6、动交变电流与正弦全波交 变电流通入电阻时所产生的热效应完全相同 即 U Um 2姨 I Im 2姨 二 矩形波交变电流有效值的计算公式 1 矩形非对称交变电流有效值的计算公式 若把一直流电压 U 和如图 4 所示的矩形非对 称交变电压分别加在同一电阻 R 上 则矩形非对称 交变电流在一个周期 T 内产生的热量为 Q1 U1 2 R T 2 U2 2 R T 2 或Q1 I1 2 R T 2 I 2 2R T 2 直流电在相等时间 T 内产生 的热量为 Q2 U2 R T 或 Q2 I2RT 根据有效值的定义可知 U1 2 R T 2 U2 2 R T 2 U2 R T 或I1 2 R T 2
7、I 2 2R T 2 I 2 RT 则 U U1 2 U2 2 2姨 I I1 2 I2 2 2 姨 2 矩形对称交变电流有效值的计算公式 在图 4 中 若 U1 U2 Um 即为矩形对称交变电 流 则由上式可知 其有效值的计算公式为 U Um或 I Im 即U Um 1姨 I Im 1姨 3 矩形脉动交变电流有效值的计算公式 如图 5 所示的矩形脉动交变电流的实质是一 种脉冲直流电 当它通入电阻 R 后 一个周期 T 内 产生的热量相当于直流电产生热量的 t T t 为一个 周期内脉动时间 由有效值的定义可知 U2 R T t T Um 2 R T 或I2RT t T Im 2RT 则 U
8、t T姨 Um I t T姨 Im 当 t T 1 2时 U Um 2姨 I Im 2姨 三 锯齿波交变电流有效值的计算公式 若把如图 6 所示的锯齿波交变电流的一个周 期 T 分成 n 等份 则每一份时间 t T n 且一个周 期 T 内对应的时刻分别为 t1 t t2 2 t tn n t T 所对应的电流的瞬时值 分别为 i1 kt1 i2 kt2 in ktn Im 其中图线的斜率 k Im T 当 n 时 t 0 可认为在时间 t 内 电流 为某一定值 则由有效值的定义可知 I2RT i1 2 R t i2 2 R t i n 2R t 由以上各式联立可得 I 1 2 2 2 n2
9、n3姨 Im 把 1 2 2 2 n2 n n 1 2 n 1 6 代入上式 并进行极 限运算可得锯齿波交变电流有效值的计算公式为 I Im 3姨 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6 备课参考 56 教学月刊 中学版 教学参考2013年第1期 图 7 图 8 图 9 引申 1 若把如图 7 所示的锯齿 波交变电流的一个 T 2分成 n 等份 则 每一份时间 t T 2n 且锯齿波图线的 斜率大小 k 2Im T 电流的热效应与电 流的方向无关 根据有效值的定义可 得 I2RT 2 i1 2 R t i2 2 R t i n 2R t 同理可得锯齿波交变电流有效值的计 算公式为 I Im 3
10、姨 2 若把如图 8所示的等腰三角 波交变电流的一个 T 4分成 n 等份 则 每一份时间 t T 4n 且等腰三角波图 线的斜率大小 k 4Im T 根据有效值的 定义可得 I2RT 4 i1 2 R t i2 2 R t in 2R t 同理可得等腰三角波交变电流有 效值的计算公式为 I Im 3姨 3 因为电流的热效应与电流的 方向无关 同理可得如图 9 所示的等 腰三角单向脉动交变电流有效值的计 算公式为 I Im 3姨 综上所述 不同类型交变电流的 有效值都是根据有效值的定义计算 的 同时 对称矩形波 正弦全波 含正 弦单向脉动 矩形脉动 和锯齿波交变 电流有效值的计算公式分别为 I
11、 Im 1姨 I Im 2姨 I Im 3姨 U Um 1姨 U Um 2姨 U Um 3姨 在物理习题中 经常出现某些物理变化在一定 的约束条件限制下进行 这种限制物理变化的约束 条件常可分为明约束和隐约束 原题中已经给出约 束条件的 叫明约束 原题中没有直接给出约束条 件 需分析推理后 才能找到的约束 叫隐约束 现 行高中物理教材的各种版本中 虽都未曾提及 约 束 两字 但实际上存在大量的有关约束问题的习 题 在高考中也屡见不鲜 以下举例分析 一 有关约束问题 如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运 动 我们就说该物体的运动受到约束 那么该曲线 或曲面就称为约束 例 如图 1 中单摆小球被
12、限制 在圆弧上运动 图 2 中物体 m 沿 光滑或粗糙的 斜 面下滑 物体 m 被限制在斜面上运动 图 3 中导体 ab 被限制在导电滑轨 MN 上运动等等 都属于约束 问题 图 1 中的摆线 图 2 中的斜面 图 3 中的滑轨 等都叫约束 由此可以看出 约束既可以是实在的 物体 也可以是某些物体对别的物体运动限制作用 的抽象 约束的分类随依据不同而异 按约束随时间改 变与否 可分为稳定约束与不稳定约束 例如图 2 中 如果斜面体是固定的 则称为稳定约束 如果斜 面体是放在光滑的水平面上 当 m 下滑时 斜面体 钱呈祥韩叙虹 永嘉县上塘中学 浙江永嘉3 2 5 1 0 0 浙江省温州中学 浙江温州3 2 5 0 1 4 图 1图 2图 3图 4 R B M N b a O m M 备课参考 57
