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1、欧几里得大约公元前300年，在地中海的南海岸，在亚历山大市尼罗河西岸近旁，生活着一位人物，他的著作的影响可与圣经相匹敌。他的研究方法为哲学注入了活力，并且很可能在进入19世纪之前，这种方法就确定了数学的本质。他的著作在很长一段时期曾是高等教育不可缺少的组成部分，这种情况至今仍然如此。恢复他的著作，是中世纪欧洲文明重新开始的关键。这位人物的名字就是欧几里得。对他的生活经历，实际上我们一无所知。他吃橄榄吗?他观看比赛吗?他究竟是高还是矮?这些问题中哪一个都没有历史的答案。我们所知道的全部情况，是他在亚历山大城开办过一所学校，有才华出众的学生，蔑视唯物论。他看起来是一个非常文雅但衣着古怪的人，并且至
2、少写过两部著作，其中之一是一本失传的有关圆锥曲线的著作，它研究一个平面与一个圆锥相截所形成的曲线。这本著作，为后来阿波罗纽斯的重要著作奠定了基础。阿波罗纽斯在航海与天文学方面曾处于十分领先的地位。精确性是另一种需要数学来证明的性质。一个观测者可能测量出边长为1正方形的对角线长为14，改进他的设备后得到的结果为141或1414，虽然我们打算采用的这种近似值已经足够好了，但这种近似值绝不能揭示出对角线长度是无理数这样一个革命性的远见卓识。 数量上的微小改变，可能对质产生巨大的影响。请考虑一下国家的彩票。怀有希望的失败者无奈地耸耸肩说：“如果你不玩彩票，你就不会赢。”这当然是正确的。但同样正确的是，
3、在百分比很小的范围内，无论你买彩票，还是不买彩票，你赢的机会是相同的。如果彩票代理人宣告，把你的中奖率从000001四舍五入为零的话，将出现什么情况呢?这是一个小的改变，但会对他们滚滚而来的年收入产生巨大的影响。 一位生活在纽约市的业余魔术师保罗?柯里发明了一种戏法，为上述这种效应提供了一个几何范例。取一张正方形的纸，在它上面画上7 7的小方格。把大的正方形剪开分成5片，然后按图所示重新安排这5片。结果形成一个“方炸面饼圈”，即与原正方形同样尺寸的一个正方形，但它的中央缺了一个小正方形。面积丢失怎么会出现呢?我们能否证明完整正方形与“方炸面饼圈”有相同的面积呢? 答案是，当剪出来的几小片被拼合
4、在一起时，正好有一小片被重复使用了，因此有一小片巧妙地逃避了，也就是我们所说的形成了一个近似值。第二排的正方形恰好高一点点,使得大正方形高出了149，这恰好可以说明丢失一小块正方形面积的原因。但是如果我们限制长度测量精确到2，我们就不能说出两种构造之间的差别了，而且可尝试得到正方形的面积与方炸面饼圈面积相等这样一个神奇的结论。这么小的偏差能对空间的现行理论产生作用吗?引导爱因斯坦创造弯曲空间的革命性理论?广义相对论的关键之一，就是经典牛顿理论在水星近日点出现的偏差。按照牛顿理论，行星都在理想的椭圆轨道上运动。行星上最接近太阳的那个点称为近日点，而如果牛顿理论是正确的，那么，当行星每年绕太阳轨道运行时，它应精确地回到同一个近日点。在1859年，勒威耶(法国天文学家，18111877)在巴黎宣布，他已经发现，水星的近日点确实移动了极小的距离?当然是一个没有什么实际影响的一个量?1世纪38弧秒。然而，此偏差必定是由于某些原因引起的。勒威耶说它是“值得天文学家们注意的一个重大难题”。1915年，爱因斯坦提出了足以计算水星轨道的理论，而且他发现了与微小偏差相符合的事实。按照一位名叫A?佩斯的人的说法，“这是爱因斯坦科学生涯中的一个重大事件，他甚至激动得三天没有工作。”事实上，要求偏差微小，至少是导致经典物理衰落的原因。
