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1、第2讲 转化思想 概述:在解数学题时,所给条件往往不能直接应用,此时需要将所给条件进行转化,这种数学思想叫转化思想,在解题中经常用到 典型例题精析 例1(2002,上海)如图,直线y=x+2分别交x,y轴于点A、C、P是该直线上在第一象限内的一点,PBx轴,B为垂足,SABP=9 (1)求P点坐标;(2)设点R与点P在同一反比例函数的图象上,且点R在直线PB右侧作RTx轴,T为垂足,当BRT与AOC相似时,求点R的坐标 分析:(1)求P点坐标,进而转化为求PB、OB的长度,P(m,n)再转为方程或方程组解,因此是求未知数m,n值 SABP=9,涉及AO长,应先求AO长,由于A是直线y=x+2与
2、x轴的交点,令y=0,得0=x+2, x=-4, AO=4 =9 又点P(m,n)在直线y=x+2上, n=m+2 联解、 得m=2,n=3, P(2,3) (2)令x=0,代入y=x+2中有y=2, OC=2,AOCBRT, 设BT=a,RT=b 分类讨论: 当 又由P点求出可确定反比例函数y= 又R(m+a,b)在反比例函数y=上 b= 联解、可求a,b值,进而求到R点坐标 当时,方法类同于上 例2(2002,南京)已知:抛物线y1=a(x-t-1)2+t2(a,t是常数,a0,t0)的顶点是A,抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B (1)判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上,为什么
3、? (2)如果抛物线y1=a(x-t-1)2+t2经过点B, 求a的值;这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由 分析:(1)y1的顶点为(t+1,t2),代入y2检验 x2-2x+1=(t+1)2-2(t+1)+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2, 点A在y2=x2-2x+1的抛物线上 (2)由y2=x2-2x+1=(x-1)2+0, y2顶点B(1,0),因为y1过B点, 0=a(1-t-1)2+t 2at2+t2=0 t0,t20, a=-1 当a=-1时,y=-(x-t-1)2+t2, 它与x轴的两个交点纵坐标为零,即y1=0,
4、有0=-(x-t-1)2+t2x-t-1=t x1=t+t+1=2t+1, x2=-t+t+1=1 情况一:两交点为E(2t+1,0),F(1,0) 而A(t+1,t2)由对称性有AF=AE(如图) 只能是FAE=90,AF2=AD2+DF2 而FD=OD-OF=t+1-1=t,AD=t2, AF2=t2+t2=AE2, FE=OE-OF=2t+1-1=2t 令EF2=AF2+AE2,则有(2t)2=2(t2+t2),4t2=2t4+2t2, t0, t2-1=0,t=1 情况二:E(1,0),F(2t+1,0) 用分析法若FAE为直角三角形,由抛物线对称性有AF=AE即AFE为等腰直角三角形
5、 且D为FE中点,A(t+1,t2), AD=t2,OD=t+1, AD=DE,t2=OE-OD=1-(t+1), t2=-t, t1=0(不合题意,舍去),t2=-1 故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形,这时t=1中考样题看台1(2003,海南)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1)和M(2,-3)两点 (1)若抛物线的对称轴为x=-1,求此抛物线的解析式; (2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围;(3)如果抛物线与x轴交于B、C两点,且BAC=90,求此时a的值2(2003,南宁)如图,已知E是ABC的内心,A的平分线交BC于点F,
6、且与ABC的外接圆相交于点D (1)求证:DBE=DEB;(2)若AD=8cm,DF:FA=1:3,求DE的长3(2003,山东)如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的,过点A1的直线分别与BC1、BE交于M、N,且被直线MN分成面积相等的上、下两部分 (1)求+的值; (2)求MB、NB的长;(3)将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后,求点MN间的距离4(2004,云南)如图,MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30,在M的南偏东60方向上有一点A,以A为圆心,500米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75,已知MB=400米,通过计
7、算,如果不改变方向,输水线路是否会穿过居民区?5(2004,丽水市)如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0t6),那么 (1)设POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式; (2)当POQ的面积最大时,将POQ沿直线PQ翻折后得到PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由; (3)当t为何值时,POQ与AOB相似考前热身训练1已知抛物线y=(x-2)2-m2(常数m0)的顶点为P (1)写出抛物线的开口方向和P点的坐标
8、;(2)若此抛物线与x轴的两个交点从左到右分别为A、B,并且APB=90,试求ABP的周长2已知m,n是关于x方程x2+(2+)x+2t=0的两个根,且m2+mn=4+2,过点Q(m,n)的直线L1与直线L2交于点A(0,t),直线L1,L2分别与x轴的负半轴交于点B、C,如图,ABC为等腰三角形 (1)求m,n,t的值; (2)求直线L1,L2的解析式;(3)若P为L2上一点,且ABOABP,求P点坐标 3如图,正方形ABCD中,AB=1,BC为O的直径,设AD边上有一动点P(不运动至A、D),BP交O于点F,CF的延长线交AB于点E,连结PE (1)设BP=x,CF=y,求y与x之间的函数
9、关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)当CF=2EF时,求BP的长; (3)是否存在点P,使AEPBEC(其对应关系只能是AB,EE,PC)?如果存在,试求出AP的长;如果不存在,请说明理由 答案:中考样题看台1(1)抛物线解析式是y=-x2-x+1 (2)由题意得: 消去c,得b=-2a-2,又抛物线开口向下,对称轴在y轴左侧, b0,b=-2a-2-1,a的取值范围是-1a0 (3)由抛物线开口向下,且经过点A(0,1)知:它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁,此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1,又BAC=90,点A必在以BC为直径的圆上;又OABC于O,OA2=OBOC,又b
10、=-2a-2,c=1,抛物线方程变为:y=ax2-2(a+1)x+1,设此抛物线与x轴的两个交点分别为B(x1,0),C(x2,0),则x1、x2是方程ax2-2(a+1)x+1=0的两根,x1x2=,OBOC=x1x2=x1x2=-x1x2,(x1x20),OBOC=-,又OA2=OBOD,OA=1,1=-,解得a=-1,经检验知:当a=-1时,所确定的抛物线符合题意,故a的值为-12(1)证明,由已知1=2,3=4,BED=3+1,5=2,4+5=3+1,即EBD=BED(2)BFDABD,BD2=ADFDDF:FA=1:3,AD=8,DF:AD=1:4,DF=2cm,BD2=16,DE=
11、BD=4cm3(1),即,得MB+NB=MBNB,两边同除以MBNB得+=1(2)MBNB=,即MBNB=5,又由(1)可知MB+NB=MBNB=5,MB、NB分别是方程x2-5x+5=0的两个实数根,x1=,x2=,MB500,不改变方向,输水线路不会穿过居民区5解:(1)OA=12,OB=6,由题意,得BQ=1t=t,OP=1t=tOQ=6-t,y=OPOQ=t(6-t)=-t2+3t(0t6)(2)y=-t2+3t,当y有最大值时,t=3,OQ=3,OP=3,即POQ是等腰三角形把POQ沿PQ翻折后,可得四边形OPCQ是正方形,点C的坐标是(3,3),A(12,0),B(0,6),直线A
12、B的解析式为y=-x+6,当x=3时,y=3,点C不落在直线AB上(3)POQAOB时,若,即,12-2t=t,t=4若,即,6-t=2t,t=2,当t=4或t=2时,POQ与AOB相似考前热身训练1(1)开口向上,P(2,-m2)(2)设对称轴与x轴交于点C,令(x-2)2-m2=0,得x1=-m+2,x2=m+2,A(-m+2,0),B(m+2,0),AC=2-(-m+2)=m,(m0)由抛物线对称性得 PA2=AC2+PC2=m2+(-m2)2 APB=90, 易证AC=PC, 即m=-m2,m1=0,m2=1 m0,m=1,ABC的周长为AB+2PA=2+22(1)m=-2,n=,t= (2)L1:y2=x+, L2:y=x+ (3)过B作BP1AC于P1,则P1(,), 过B作BP2AB于P2,则P2(-2,)3(1)y=(1x) (2)BP= (3)若AEPBEC,则,易知RtBAPRtCBE,BE=AP 设AP=t(0t1),则AE=AB-EB=1-t, ,t=,又0t1, t=,即P点