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1、韦达定理 及其推广 1 首先我们考虑一元二次方程 的求根公式 韦达定理 一定要用求根公式推导韦达定理吗 2 我们不妨看看下面这种方法 由于 是方程 的根 所以 展开得 与原方程比较对应系数即可得到韦达定理 3 有了上述方法 我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了 若用第一种方法需要求出根 而三次方程求根公式表示较复杂 故不采用该方法 在此不赘述该方法的证明过程 可以百度 设 是方程 的根 所以 展开得 与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理 4 先解方程 再检验韦达定理的正确性 5 韦达定理的推广 有了上面二次方程和三次方程的韦达定理 我们可以 推广到 n n 次方程的韦达定理 当
2、然也可以用上面的方法进行证明 在此不多赘述 设一元 n n 次方程 的根为 则有 一元 n n 次方程的韦达定理 6 当然我们知道 二次方程韦达定理可以逆用 那么同样的 一元 n n 次方程 的韦达定理也可以逆用 那么就可以解决方程式这道题目了 考虑到题目的特殊性 方程最高只有 7 7 次 再由有理根定理 或 韦达定理最后的求积式 可知方程的根必定是 a a n n 的正约数 这对 题目的进一步优化铺平了道路 先用有理根定理求出所有可能的方程的解 如果解的个数不到方 程的次数 根的个数定理 那么必定有重根 重根只需要用一 个数组存个数 然后枚举每一个个数 利用韦达定理前两个式子 进行检验即可 7 谢谢 请多多指正 8
