《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 9.3 圆的方程导学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【步步高】（广东专用）2015高考数学大一轮复习 9.3 圆的方程导学案 理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆2确定一个圆最基本的要素是_和_3圆的标准方程(x a)2( y b)2 r2 (r0)，其中_为圆心，_为半径4圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0 表示圆的充要条件是_，其中圆心为_，半径 r_.5确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)_；(2)_；(3)_6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程( x a)2( y b)2 r2，点 M(x0， y0)，(1)点
2、在圆上：( x0 a)2( y0 b)2_r2；(2)点在圆外：( x0 a)2( y0 b)2_r2；(3)点在圆内：( x0 a)2( y0 b)2_r2.自我检测1方程 x2 y24 mx2 y5 m0 表示圆的条件是()A. 114C m114 142(2011南平调研)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是()A x2( y2) 21B x2( y2) 21C( x1) 2( y3) 21D x2( y3) 213点 P(2，1)为圆( x1) 2 y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是()A x y30 B2 x y30C x y10 D2 x y
3、504已知点(0,0)在圆： x2 y2 ax ay2 a2 a10 外，则 a 的取值范围是_5(2011安庆月考)过圆 x2 y24 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、 B，则APB 的外接圆方程为_2探究点一求圆的方程例 1求经过点 A(2，4)，且与直线 l： x3 y260 相切于点 B(8,6)的圆的方程变式迁移 1根据下列条件，求圆的方程(1)与圆 O： x2 y24 相外切于点 P(1， )，且半径为 4 的圆的方程；3(2)圆心在原点且圆周被直线 3x4 y150 分成 12 两部分的圆的方程探究点二圆的几何性质的应用例 2(2011滁州模拟)已知圆 x2 y2 x
4、6 y m0 和直线 x2 y30 交于 P， Q两点，且 OP OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径变式迁移 2如图，已知圆心坐标为( ，1)的圆 M 与 x 轴及直线 y x 分别相切于 A、 B 两点，另3 3一圆 N 与圆 M 外切且与 x 轴及直线 y x 分别相切于 C、 D 两点3(1)求圆 M 和圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度3探究点三与圆有关的最值问题例 3已知实数 x、 y 满足方程 x2 y24 x10.(1)求 y x 的最大值和最小值；(2)求 x2 y2的最大值和最小值变式迁移 3如果实数
5、 x， y 满足方程( x3) 2( y3) 26，求 的最大值与最小值yx1求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离 d 与圆半径 r 的关系 dr时，点在圆外3本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)41(2011重庆)在圆 x2 y22 x6 y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A5 B102 2C15 D20
6、2 22(2011合肥期末)方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆，则 a 的取值范围是()A a B 0 (D2， E2) D2 E2 4F25(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于 a，b，r 或D、E、F 的方程组(3)解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程6.(1)(2)(3)0，圆心坐标为 ，半径 r .(12， 3) 52方法二如图所示，设弦 PQ 中点为 M，O 1MPQ，kO 1M2.又圆心坐标为 ，(12， 3)O 1M 的方程为 y32 ，即 y2x4.(x12)由方程组Error!解得 M 的坐标为(1,2)则以 P
7、Q 为直径的圆可设为(x1) 2(y2) 2r 2.OPOQ，点 O 在以 PQ 为直径的圆上(01) 2(02) 2r 2，即 r25，MQ 2r 2.在 RtO 1MQ 中，O 1M2MQ 2O 1Q2. 2(32) 25 .(12 1) 1 6 2 4m4m3.半径为 ，圆心为 .52 ( 12， 3)变式迁移 2解(1)M 的坐标为( ，1)，M 到 x 轴的距离为 1，即圆 M 的半径为31，则圆 M 的方程为(x )2(y1) 21.3设圆 N 的半径为 r，连接 MA，NC，OM，则 MAx 轴，NCx 轴，由题意知：M，N 点都在COD 的平分线上，O，M，N 三点共线由 Rt
8、OAM RtOCN 可知，8|OM|ON|MA|NC|，即 r3，23 r 1r则 OC3 ，则圆 N 的方程为(x3 )2(y3) 29.3 3(2)由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度，此弦的方程是 y (x )，即 x y 0，33 3 3 3圆心 N 到该直线的距离 d ，32则弦长为 2 .r2 d2 33例 3解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如y bx ataxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa) 2(yb) 2形式的最
9、值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解(1)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 ，解得 b2 .|2 0 b|2 3 6所以 yx 的最大值为2 ，最小值为2 .6 6(2)x2y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2， 2 0 2 0 0 2所以 x2y 2的最大值是(2 )274 ，3 3x2y 2的最小值是(2 )274 .3 3变式迁移 3解设 P(x，y)，则 P 点的轨迹就是已知圆 C：(x3) 2(y3
10、) 26.而 的几何意义就是直线 OP 的斜率，yx设 k，则直线 OP 的方程为 ykx.yx当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值因为点 C 到直线 ykx 的距离 d ，|3k 3|k2 1所以当 ，|3k 3|k2 1 6即 k32 时，直线 OP 与圆相切2即 的最大值为 32 ，最小值为 32 .yx 2 2课后练习区1 B圆的方程化为标准形式为(x1) 2(y3) 210，由圆的性质可知最长弦|AC|2 ，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中心，设点 F 为其圆心，坐标为(1,3)10故 EF ，BD2 2 ，5 10 5 2 5S 四边形 ABCD ACBD10 .12 22 D
11、3. A4. B5. A6(x1) 2y 227.(x2) 2(y1) 228.09解(1)AB 的中垂线方程为 3x2y150，由Error! 解得Error!(3 分)圆心为 C(7，3)又|CB| ，65故所求圆的方程为(x7) 2(y3) 265.(6 分)(2)设圆的方程为 x2y 2DxEyF0，将 P、Q 点的坐标分别代入得Error!Error!9(8 分)又令 y0，得 x2DxF0，由|x 1x 2|6 有 D24F36.由解得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y 22x4y80，或 x2y 26x8y0.(12 分)10解(1)设 txy，则
12、 yxt，t 可视为直线 yxt 的纵截距，所以xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即 1，解得 t 1 或 t 1，|2 3 t|2 2 2所以 xy 的最大值为 1，2最小值为 1.(4 分)2(2) 可视为点(x，y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆yx yx有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为 ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，|2k 3 |1 k2解得 k2 或 k2 ，233 233所以 的最
13、大值为2 ，yx 233最小值为2 .(8 分)233(3) ，x2 y2 2x 4y 5即 ，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，x 1 2 y 2 2可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为 ，所以 的最大值为34 x2 y2 2x 4y 5 1，最小值为 1.(12 分)34 3411解建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为 x2y 2DxEyF0，由于圆心在 y 轴上，所以 D0，那么方程即为 x2y 2EyF0.(3 分)下面用待定系数法来确定 E、F 的值因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组Error!(7 分)解得 F100，E21.这个圆的方程是 x2y 221y1000.(10 分)把点 P2的横坐标 x2 代入这个圆的方程，得(2) 2y 221y1000，y 221y960.P 2的纵坐标 y0，故应取正值，y 3.86(米)
