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1、随机振动理论读书报告1 引论在工程中，一个具体系统的振动往往是很复杂的。它同时受着许多因素的影响，其中有的因素是确定性的、可以估计的。也有的因素是随机的、无法估计的因此一切实际系统的振动都具有一定的随机性。也就是说严格地讲，一切实际的振动都是随机振动只是当对问题解答的精度要求不高，可以略去次要的随机因素的影响时，就把问题简化为确定性的。在确定性的分析中，如果结构的初始状态、动力特性以及外加荷载都是已知的、确定的，那么由结构的运动方程就可以得到结构的确定性响应。但在实际中，外加荷载、初始条件以及结构本身都具有随机性，因此可采用三类随机微分方程来分析这些问题：(1)第一类随机微分方程只有初始条件是
2、随机的。这一类问题首先起源于统计物理学和动力学理论。近年来在工程力学、化学动力学等领域中起着重要的作用。例如空间弹道分析就含有随机初值问题。(2)第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项(外荷载项)。单自由度系统在地震地面加速度作用下的运动方程：(3)第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。这种方程的研究是近年来才开始。因为在研究实际工程技术和物理问题时。由于系统本身的不确定性和复杂性，不可避免地给数学模式带来不确定性的因素，因此，采用随机系数的微分方程是很自然的，而且亦是合理的。例如这类方程会出现在非均匀介质中波的传播和物理、工程、生物领域中不完全确定系统的动力学
3、问题中。研究随机振动的目的，是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性；从工程观点来看，其最终目的分析结构系统在随机激励下，研究结构在其使用期内的功能和可靠度。所以，在随机振动理论分析中，将荷载(外加激励)系统作为随机过程加以模型化，并用概率论来定量评价结构(机械)系统具有何种程度的可靠度(安全度)。 2 概率论的若干基本知识通常把具有某种特定性质的对象的全体称为集合，简称集。其中每一个属于这种“集”的对象，称为集的一个元素。概率古典定义：设在一个试验，有也只有N个可能发生的情况，并且每个情况都是等可能。其中恰恰有u个情况具有性质A，则A的概率为u/A，记作P(A)=u/A，0P(A)1。随机变
4、量、概率分布函数和概率密度函数随机变量：离散型、连续型概率分布函数 （2.1）概率密度函数当连续可导时，定义概率密度函数 （2.2）按定义：；联合分布的随机变量联合概率分布函数概率分布函数和概率密度函数的概念可以推广到两个或两个以上随机变量的情况。在求解实际问题中我们往往需要知道两个或更多个随机变量的联合性质。首先研究两个随机变量的情况。设X1及X2分别为时刻t1及t2时的随机激振力。X1及X2的联合性质由联合概率分布函数描述如下：条件分布和统计独立性1)如果两个随机变量X及Y为离散型，则在条件Y=y下X=x的概率为：2)对于连续型的两个随机变量:定义Py(y)=0时，PX|Y(x,y)=0。
5、3)独立性的定义对于离散型随机变量X及Y，如果X独立于Y则有。对于连续型随机变量X及Y，如果X独立于Y则有。得到：期望值设为一随机变量，若该式有定义（即积分保持有限），则的期望值定义为。（集合平均或统计平均）对于随机变量函数的期望值定义为，该结果可以推广到多维随机变量函数，若多维积分保持有限，即则有： 矩一阶矩（即期望）：；二阶矩：；n阶矩：；联合（mn）阶矩：；中心矩若取一定值x0，则概率密度函数相对于x0的n阶矩为：若取x0=： n阶中心矩：方差：标准方差：(m+n)阶联合中心矩：对于两个随机变量和的情况，定义协方差为：协方差的标准形式（随机变量和的相关系数）：特征函数定义：设为一连续型实
6、随机变量，取指数函数ei，其中为实数，再取他的数学期望，特征函数为，是的Fourier变换。考虑到实际上，即满足绝对可积条件，则由Fourier逆变换，可得因此，和是组成一Fourier变换对。由特征函数的Maclaurin级数展开式，可得，说明一个随机变量概率分布的完整描述需要无穷多个矩。对数特征函数利用对数特征函数的主值式中为x的n阶累积量（半不变量）。Fourier变换正变换逆变换3 随机过程基本概念随机过程是一个所有可能出现的样本函数，的集合；一个随机过程，对于固定的是一个随机变量。一簇随机变量，的总体定义了随机过程。一个随机过程等价于一个随机变量的无限集。随机变量的数学定义：如果对的
7、每个有限集，有相应的随机变量集合，它们有联合概率分布函数，则这簇联合分布函数定义了一个随机过程，。这簇联合分布函数必须满足下面Kolmogorov相容条件。1） 对于mn，2) 随机过程可以有三种描述方式：1、 幅域：随机过程的概率特征，“矩”；2、 时域：一个随机过程在任意不同时刻取值得相关性，“相关函数”；3、 频域：随机过程的频率结构，“功率谱密度函数”。随机过程的期望、矩及特征函数设X(t)、Y(s)为两个随机过程，设f(x(t) 及f(x(t).y(t) 两个随机过程函数，可得 令f(x(t)=xn(t)随机过程在时刻t的n阶矩：当时表示均值函数，当时表示均方值函数，令在时刻t的n阶
8、中心矩： 随机过程自相关函数、互相关函数1、 自相关函数定义一个随机过程X(t)在两个不同时刻t1和t2的联合矩当n=m=1时有自相关函数定义自协方差函数自相关系数函数2、 互相关函数3、 设X(t)、Y(t)为两个随机过程，互相关函数为互协方差函数互相关系数函数基本性质1、对称性；2、由Schwarz不等式可以得到，；3、设及为二个随机过程，有4、一个随机过程加上一个确定性函数之后，并不改变它的协方差函数。设为随机过程，为一个确定性函数，也是个随机过程，则，因此，在讨论一个随机过程的自协方差函数时，可以不失一般地假定它有一个零均值。平稳随机过程平稳随机过程的矩：常数；常数；自相关函数的性质：
9、1、为的偶函数，即；2、在处有一个极大值。3、为一非稳定函数，即，其中，为任意的，为的共轭。互相关函数的性质：1、，；2、；3、如果为零均值的广义平稳随机过程，则得到自相关系数函数由于二阶随机过程设随机过程，若对于所有的，有，则称为二阶随机过程，其均值函数和协方差函数肯定存在。随机过程的均方微积分由于随机过程是在概率意义下定义的，所以要建立概率意义下的极限概念。我们仅讨论均方意义下的极限概念，并在此基础上讨论随机过程的连续性、可积与可微的充要条件。均方收敛及均方极限设有一随机变量序列，如果满足条件，则称随机序列在均方意义下收敛到随机变量，的均方极限为，记为，代表均方极限（limit in th
10、e mean square）。要满足条件式，必须有，即，都必须是二阶随机变量。均方收敛性质：1、设有，则有，均方极限运算与期望运算可交换；2、设有，则有X=Y，在均方意义上等价，均方极限唯一；3、设有，对任意常数a和b有，均方极限运算是线性算子。均方连续性，设随机过程，满足，则称是均方连续的。均方连续性准则：一个二阶随机过程在均方连续的充要条件是其相关函数在处连续。在处连续。随机过程的可微性随机过程的均方导数定义为，上式成立的充要条件是，并在处连续。在均方可微的情形下，求导运算与期望运算可交换次序，对于广义平稳过程。则有正交性EX(t)Y(t)=0称X(t)和Y(t)正交对于广义平稳过程，在处
11、有一个极大值广义平稳随机过程与其导数过程正交。均方可微必有均方连续，反之不一定。随机过程的积分设随机过程定义于区间，把区间划分为，作和式：，其中，。若有，则称为在区间上的均方Riemann积分。记为，此式存在的充要条件为。均方积分的定义可以推广到被积函数中含有确定性的权函数h(t,)的情形。设随机过程，h(t,)为一有界的确定性函数，令 （1）上式成立的充要条件是，对于所有的1,2有共轭充要条件得以满足则积分运算期望运算可交换次序，从而有随机过程的频谱特性不失一般性，设随机过程为一零均值 （2）比较（2）式和（1）式，在均方意义下存在的必要条件为对于所有的1和2有 （3）由（3）式可得考虑一个
12、时段为2T的平稳随机过程XT（t）令 当的Fourier变换为：对1和2有界，令t2-t1=, 1=2=上式变为（？）同时不加说明的直接给出导数过程的功率谱密度函数表达式：当为一广义平稳过程时，有，则可推导出此时要求满足。上述表达式可进一步推广至高阶导数情况。四种类型的功率谱：1、 宽带平稳随机过程：它的功率谱密度函数在相对多的频域范围内具有较大的值；2、 窄带平稳随机过程：它的功率谱密度函数在很窄的频域范围内具有较大的值；3、 白噪声：宽带过程的理想化，。4、 带宽限制的白噪声：，5、周期性振动：Fourier展开成一系列简谐振动之和设随机过程为一零均值，并能用简谐振动展开，得到的自协方差函
13、数令t1=t2=t得到随机过程离散能量谱随机过程的互谱特性设和为两个平稳随机过程，则定义其互功率谱密度函数为互谱密度函数一般为复函数，且有性质：。可以表示为，式中称为余谱（为实偶函数），称为象限谱（为实奇函数）。规格化的互谱密度函数（凝聚函数、谱相干函数）各态历经过程时间平均的概念：如果一个平稳随机过程，满足条件，称在均值意义上是各态历经的；再如果满足，则称在自相关意义上是各态历经的。各态历经性质指集合平均与时间平均相等。4、几个常见的随机过程Gauss随机过程高斯分布中心极限定理在分析一些物理现象时，常常假设Gauss随机变量的理由是根据以下的中心极限定理。设Xn是一列互相独立且具有同一分布
14、的随机变量，它们的均值为，方差为2。令。经过中心化及规一化后，变为。 则对每个固定的y,当n时，y的概率分布函数Fy（y）收敛于均值为零，方差为1的Gauss分布。 这一定理表明，当一个物理现象可以表示为许多小的独立的 随机作用总和时，每一独立随机变量对研究的变量只起极小的作用，这常常具有Gauss分布的性质。高斯随机变量的联合分布。设有二个随机变量X和Y，如果它们的联合概率密度函数具有下列形式：给出，那么就说随机变量X和Y是Gauss联合分布的函数高斯过程的定义设有一个随机过程，如果对每一个有限集，随机变量，的联合概率密度函数服从高斯分布法则，则此随机过程称为Gauss随机过程。三个特征1、 许多自然现象可以用Gauss过程来近似的描述；2、 Gauss过程的线性变换仍然是Gauss过程；3、 只要知道Gauss过程的一阶矩与二阶矩，就可以确定它的概率密度函数。这些特点给随机振动研究带来了很大的方便。首先，随机振动的许多激励源都可以近似地看作Gauss过程；其次，对于
