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1、2019-2020年高三统一测试（数学理）考生须知：1本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟2本试卷共10页，第卷1-2页，第卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均答 在本题规定的位置第卷 （选择题， 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集， ，那么集合是（ ）ABCD2函数的最小正周期是（ ）ABCD3已知数列的前项和，则的值为（ ）A91B152C218D2794对于两条直线和平面，若，则“”是“”的（ ）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 5用数字0，1
2、，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同 的共有（ ）A480个B240个C96个D48个 6若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ）A4B-4C2D-2 7若函数的图象按向量平移后，得到的图象关于原点对称，则向量可 以是（ ）A（1，0）BCD 8设 ，又记则（ ）ABCD第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9若复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值是 10设变量、满足约束条件，则目标函数的取值范围是 11若展开式的第项为，则= 12设地球半径为R，在北纬45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为90，
3、则甲、乙两地间的最短纬线之长为，甲、乙两地的球面距离为13函数，则，若，则实数的取值范围是 14已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题： 方程有且仅有6个根 方程有且仅有3个根 方程有且仅有5个根 方程有且仅有4个根其中正确的命题是（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分13分)已知为锐角，向量，且 （）求角的大小； （）求函数的值域16（本题满分13分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率
4、为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品 （）求一个零件经过检测为合格品的概率； （）任意依次抽出个零件进行检测，求其中至多个零件是合格品的概率； （）任意依次抽取该种零件个，设表示其中合格品的个数，求与17（本题满分14分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长； （）求二面角的大小； （）求点到平面的距离18（本题满分13分） 已知等差数列中，前项和 （）求数列的通项公式； （）若数列满足，记数列的前项和为，若不等式 对所有恒成立，求实数的取值范围19（本题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且
5、倾斜角为的直线被双曲线截得的弦的长为 （）求此双曲线的方程； （）若直线：与该双曲线交于两个不同点、，且以线段为直径 的圆过原点，求定点到直线的距离的最大值，并求此时直线的方程20（本题满分13分） 已知为函数图象上一点，为坐标原点记直线的斜率 （）同学甲发现：点从左向右运动时，不断增大，试问：他的判断是否正确? 若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断； （）求证：当时，； （）同学乙发现：总存在正实数、，使试问：他的判断是否正 确?若不正确，请说明理由；若正确，请求出的取值范围参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号
6、12345678答案DABDBACA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上题号91011121314答案,注：第12、13题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分分）解：（）由题意得：， 2分，即 4分为锐角，, 即 6分（）由（）知， 9分因为，所以，因此，当时，有最大值； 当时，有最小值所以函数的值域是. 13分16（本题满分分）解：（）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意得：，解得： 4分一个零件经过检测为合格品的概率 6分（）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格
7、品的概率为： 9分（）依题意知，13分17（本题满分分）解法一： （）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连结 是正三角形， 又底面侧面， 且两平面交线为， 侧面连结，则为直线与侧面所成的角 2分在中，解得 此正三棱柱的侧棱长为 4分 （）过作于，连结 侧面， 是在平面内的射影由三垂线定理，可知 为二面角的平面角 6分在中，又， 又， 在中， 8分故二面角的大小为 9分（）由（）可知，平面， 平面平面，且交线为，过作于，则平面 的长为点到平面的距离 10分在中， 12分 为中点， 点到平面的距离为 14分解法二：（）同解法一（）如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由，得取 6分又平面的一个法向量
8、 7分 8分结合图形可知，二面角的大小为 9分（）由（）， 10分 点到平面的距离 点到平面的距离为 14分18（本题满分分）解：（）设等差数列的公差为， ,， ，即 . . 3分所以数列的通项公式. 5分（） ，, . 7分 当时，, 数列是等比数列，首项，公比 9分 11分 ，又不等式恒成立，而单调递增，且当时， . 13分19（本题满分14分）解：（）设双曲线的方程是（，），则由于离心率，所以，从而双曲线的方程为，且其右焦点为（，0）把直线的方程代入双曲线的方程，消去并整理，得设，则，由弦长公式，得=6 所以，从而双曲线的方程是 5分（）由和，消去，得 根据条件，得且. .设，则，.由于以线段为直径的圆过原点，所以.即 .从而有，即. 8分 点到直线：的距离为: . 10分由 ，解得 且由 ，解得 .所以当时，取最大值，此时.因此的最大值为，此时直线的方程是. 14分20（本题满分分）解：（）同学甲的判断不正确.依题意， .当时，；当时，.所以，在上递增，在上递减. 4分（）,记， ，所以在上为减函数，则 . ， ，即 . 9分 （）同学乙的判断正确. ，且当时，1 a e b x0y又由（）知当时， 当时，则的图象如下图所示. 总存在正实数,且，使得. 即 ,即 ，此时. 13分
