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1、旋量BEC方程的解析求解旋量玻色爱因斯坦凝聚(BEC)是近年来物理学领域中最重要的研究问题之一。在光阱实验中,相对于原来的磁阱束缚的标量BEC,由于粒子自旋自由度被释放,塞曼效应会导致处于不同自旋自由度的旋量粒子分开,旋量BEC呈现出了非常丰富的新性质，从而对旋量BEC的动力学产生深刻影响。本文在平均场理论下,分别考虑无塞曼效应和有塞曼效应条件下的自旋+1和自旋-1及自旋0的旋量BEC用3分量的Gross-Pitaevskii方程组的解析解。这些结果对于深入理解二次塞曼效应对自旋动力学的影响是有重要意义的。1 背景介绍1.1 物理背景1.1.1 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) Bose-Eins
2、tein condensation玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是爱因斯坦在80年前预言的一种新物态，它表示当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。在1995年6月，两名美国科学家康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒分别在稀薄的金属原子气体铷原子蒸气中第一次直接观测到了玻爱凝聚态，并于2014年6月在中国一陨石中就发现了这一凝聚态特相，属于天然的玻色-爱因斯坦凝聚态。由于激光冷却技术的发展，人们可以制造出与绝对零度仅仅相差十亿分之一度的低温。并且利用电磁操纵的磁阱技术可以对任意金属物体实行无触移动。这样的实验系
3、统中，原子被束缚在磁阱里面，因此原子的自旋度被凝固了。在1998年，将自旋为1的气体钠原子限制在磁阱中首次实现了带有内部的自旋度的BEC，这为我们研究超冷状态下的原子系统打开了新的大门。由于粒子间的相互作用，限制在光阱中的原子的自旋方向可以改变。因此，一个f自旋的BEC的序参量有2f+1个部分，这些部分可以随空间和时间改变，这导致了自旋结构非常丰富的变化。与旋量BEC对比，原子在单一自旋态的一个BEC归结成标量BEC。这篇文章，我们只考虑有1个自旋度的BEC。1.1.2 符号说明1.1.3 旋量BEC 在光阱实验中,相对于原来的磁阱束缚的标量BEC,由于粒子自旋自由度被释放,塞曼效应会导致处于
4、不同自旋自由度的旋量粒子分开,旋量BEC呈现出了非常丰富的新性质，从而对旋量BEC的动力学产生深刻影响。在光阱中实现波色爱因斯坦凝聚(BEC)为我们提供了唯一的研究丰富的量子现象的一个体系，然而，在磁阱中，BEC能更精确地被例如费许巴赫共振和色散管理等许多技术控制，旋量BEC在通过光或者费许巴赫微波共振的时候由变化自旋交换反应控制。但是，一个控制旋量BEC最强有力的办法是使用二次塞曼效应(QZE)，这是在不同的超精细水平之间发生自旋弹性碰撞而产生塞曼能量差异得到的。这不仅仅导致了丰富又新奇的基态和自旋结构，对自旋结构因子、相变、对称性和涡旋态的影响也是值得关注的。 如果给旋量BEC加周期外磁场
5、B，那么二次塞曼效应的系数应该和$B2$成比例。因为它会和自选交换作用相竞争，因此，二次塞曼效应是决定气体自旋量性质的关键因素。在实验中，二次塞曼效应的系数是可调节的，并且可正可负。通过使用二次塞曼效应，我们可以变化单个质子的能量去控制由自旋混合的冲突导致的动力失稳。这些不稳定的性质为我们研究更丰富的物理现象提供了很好的机会。 现在做BEC实验都是在原子阱中进行，然而需要指出的是，从齐次系统中得到的结果为被限制的旋量BEC的物理性质做了初步估计，例如WKB半古典逼近方法。这些齐次的结果正好用于决定即发基本的光谱，这会用在以后的热力学性质的计算上。更多的，我们试着去实现周期外场下的波色爱因斯坦凝
6、聚。尽管一些人几经做过简化或者逼近，提出了一些有效的分析方法，但至今没有人研究在周期外场下是否存在塞曼效应时的解析结果。在这篇文章中，我们讲详细谈论这两种情形。1.1.4 平均场理论 平均场理论使用数量守恒原理。平均场理论通常靠期待值代替场算符得到。这种方法尽管运用广泛并且有方便的技术，但它有一个概念上的困难即它破坏了全局U的规范不变性，这表示了原子数目不是守恒的。然而，在现实中，原子的数目是严格守恒的，他们是重子和轻子的数量。事实上，构造一个不破坏全局U的规范不变性的平均场理论是可以实现的。 为了构造一个数量守恒的平均场理论，我们用标准正交的基本函数 列作场算符的展开 这里的 表示磁量子数m
7、和空间模i的基本函数， 是相对应的湮没算符，满足以下对易关系基本函数列满足的正交化条件和完备关系是这样构造的场算符 满足场的对易关系以上提到的 是克罗克内函数符号，满足在平均场逼近中，假设波色爱因斯坦凝聚的玻色子（自旋为整数的粒子）占据了单个空间模，假设i=0,并且一个单一自旋态可用磁支能级的线性叠加表示，因此，给出状态矢量的形式上式中的 是粒子真空， 是标准化的旋量序参量，满足这明确地表示了这里的 。正如方程（1）所示，场算符的期待值符合数量守恒定理那般消失。然而，所有实验上的物理观测量都可以用如（2）和（3）那样的场算符对应的函数表示，并且有非零值。这些值除了方程（3）中1/N因子以外都与
8、U对称性破裂方法得到的值一致。1.1.5 雅克比椭圆函数 由于本文的计算过程中应用了雅克比椭圆函数（Jacobian elliptic fuctions），在此，我们简单介绍雅克比椭圆函数的性质，方便大家理解。 雅可比椭圆函数是由卡尔雅可比在1830年左右研究的一类椭圆函数。这类函数可用于摆之类的应用问题，并具有与三角函数相似的性质。 是实的雅克比椭圆函数。当 时，雅克比椭圆函数给定了椭圆系数，因此决定了函数周期。记则 的周期分别为 。当 时，定义如下：因此，我们认为 是实数。雅克比椭圆函数有以下性质我们发现当时，雅克比椭圆函数有特殊的孤子解形式。三个基本的雅可比椭圆函数的导数为1.2 模型和
9、方法 在平均场理论下，若考虑塞曼效应，1维3分量Gross-Pitaevskii方程组有以下形式,其中 是旋量BEC方程的解析解若不考虑塞曼效应，即p=q=0,1维3分量Gross-Pitaevskii方程组为我们的研究是对方程（4）和方程（5）求解并分析。当系统（4）和系统（5）在绝对零度和平均场理论下，我们的结果只提供均衡结构。为得到方程（4）和方程（5）的解析解，我们假设其中且有这里的 都是实数，并且将被决定的;而 已知，的值在实验中是可调的。 若将方程（2）带入方程（1），由雅克比椭圆函数的性质，我们可以得到关于 的多项式。把多项式的系数设为零，我们得到关于未知数 的代数方程组。这个代数方程组的解是存在的，解出这个方程，我们就能得到方程（4）和方程（5）的解析解。2 无塞曼效应2.1 解的表达式2.1.1 解一当 时，有如下形式的解 则 之间必须满足以下关系2.1.2 解二当时，有如下形式的解则 之间必须满足以下关系2.1.3 解三当时，有如下形式的解则 之间必须满足以下关系2.1.4 解四2.1.5 解五3 存在塞曼效应3.1 解的表达式3.1.1 解一3.1.2 解二3.1.3 解三3.1.4 解四3.1.5 解五14
