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1、数学中考部:2013春季周末班相似三角形小结(0518)一、如何证明三角形相似相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(2)如图:其中1=2,则ADEABC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图:1=2,B=D,则ADEABC,称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及EAF与ECA例1、如图,平行四边形ABCD中,过A作直线交BD于P,交BC于Q,交DC的延长线于R.求证:AP=PQPR.例2、如图,已知ABC,延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求AE:AC的值(2)若
2、AB=a,FB=EC,求AC的长.例3、如图,已知ACB=90,AC=BC,BECE于E,ADCE于D,CE与AB相交于F.(1)求证:CEBADC;(2)若AD=9,DE=6,求BE及EF的长. 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DFAC=BCFE例2:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D。求证:(1)MA2=MDME;(2)评注:(1)通过一对相似三角形来证明比例线段,是证比例线段的一种基本方法。本例第(1)小题证明MA2=MDME,经常可以把其中的M
3、A看作一对相似三角形的公共边,再去寻觅与确定需证相似的三角形。(2)本例的关键是证明MAEMDA,这种具有特殊关系(有一个公共角和一条公共边)的三角形的相似,在解题中应用很多,应从下面两个方面深刻理解:命题1 如图,如果1=2,那么ABDACB,AB2=ADAC。命题2 如图,如果AB2=ADAC,那么ABDACB,1=2。例3:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE:ED=2AF:FB。评注:(1)为了得到比例式,通常用过一点作某一直线的平行线的方法,在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。(2)在探索证题思路的过程中,我们可以采取“做做比比,比比
4、做做”的方法,即构造相似形,写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段,并及时与待证结论中的有关线段进行比较,以便确定下一步需要解决什么问题。例4、如图,已知ABC中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.求 的值.三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1:已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。求证:AEF=FBD例2、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点,且ABED,BCFE,求证:AFCD 例3、直角三角形ABC中,ACB=90,BCDE是正方形,AE交BC于F,FGAC交AB于G,求证:FC=FG 四、动点问题例1、在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时,以点A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似?(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积多少个平方单位?