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1、随机事件及其概率1.1 随机事件习题 1 试说明随机试验应具有的三个特点习题 2 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A ， B， C 分别表示 “ 第一次出现正面 ” ， “ 两次出现同一面 ” ， “ 至少有一次出现正面 ” ，试写出样本空间及事件 A， B， C 中的样本点 . 1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题 3. 证明下列等式：习题 5. 习题 6. 习题 7 习题 8 习题 9 习题 10 习题 11 习题 12 习题 13 习题 14 习题 15 习题 16 习题 17 习题 18 习题 19 习题 20 习题
2、 21 习题 22 习题 23 习题 24 习题 25 习题 26 第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题 1 随机变量的特征是什么？解答： 随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数 .随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值 . 随机变量取特定值的概率大小是确定的 . 习题 2 试述随机变量的分类 .解答： 若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量 . 若 X 的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称 X 为连续型随机变量 .习题 3 盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2, ?,9, 从中任
3、取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率 .解答： 分别用 1, 2, 3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间S= 1, 2, 3, 定义随机变量 X 如下：X=X( )=0, = 11, = 2,2, = 3 则 X 取每个值的概率为PX=0=P 取出球的号码小于 5=5/10, PX=1=P 取出球的号码等于 5=1/10, PX=2=P 取出球的号码大于 5=4/10. 2.2 离散型随机变量及其概率分布习题 1 设随机变量 X 服从参数为 的泊松
4、分布，且 PX=1=PX=2, 求 .解答： 由 PX=1=PX=2, 得 e- = 2/2e- , 解得 =2. 习题 2 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5, 试求 (1)P123. 解答： (1)P123=PX=4+PX=5=415+515=35. 习题 3 已知随机变量 X只能取 -1,0,1,2 四个值， 相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定常数 c, 并计算 PX60, 即 PX20, PX20=PX=30+PX=40=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6. 习题 6 设自动生产线
5、在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整， X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布； (2)PX 5;(3) 在两次调整之间能以 0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少 ? 解答： (1)PX=k=(1- p)kp=(0.9)k 0.1,k=0,1,2, ?;(2)PX 5= k=5 PX=k= k=5 (0.9)k 0.1=(0.9)5;(3) 设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m件，则 m应满足PX m=0.6, 即 PXm -1=0.4. 由于PXm - 1= k=0m-1(0.9)k(0.1)=1
6、-(0.9)m, 故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得 m 4.85 5,因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5. 习题 7 设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布 .解答： 此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1.X=0表示未投中，其概率为 p1=PX=0=1-0.6=0.4, X=1表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6. 则随机变量的分布律为X 0 1 P 0.4 0.6 习题 8 某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中
7、次品的概率分布 .解答：设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120, PX=2=C71C32C103=21120, PX=3=C33C103=1120. X 的分布律为X 0123 P 3512036120211201120 习题 9 一批产品共 10 件， 其中有 7 件正品， 3 件次品， 每次从这批产品中任取一件， 取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数 X 的概率分布 .解答： 由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一
8、次抽取时完全相同，所以 X 的可能取值是所有正整数 1,2, ?,k, ?.设第 k 次才取到正品 ( 前 k-1 次都取到次品 ), 则随机变量 X 的分布律为PX=k=310 310 ? 310 710=(310)k - 1 710,k=1,2, ?. 习题 10 设随机变量 X b(2,p),Y b(3,p), 若 PX 1=59, 求 PY 1.解答： 因为 X b(2,p),PX=0=(1-p)2=1- PX 1=1 -5/9=4/9, 所以 p=1/3. 因为 Y b(3,p), 所以 PY 1=1 -PY=0=1-(2/3)3=19/27. 习题 11 纺织厂女工照顾 800 个
9、纺绽， 每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间内断头次数不大于 2 的概率 .解答： 以 X 记纺锭断头数 , n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0 X 2=P ?0 xi 2X=xi= k=02b(k;800,0.005) k=02P(k;4)=e -4(1+41!+422!) 0.2381.习题 12 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布， 经统计发现在某本书上， 有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率 .解答： becausePX=1=PX=2, 即 11!e- = 22
10、!e- ? =2, PX=0=e-2, p=(e-2)4=e-8. 2.3 随机变量的分布函数习题 1F(X)=0,x0.5,P1.70.5=1- PX 0.5=1 -F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P1.700,x 0, 试求： (1)A,B 的值； (2)P-100,x 0.习题 4 服从拉普拉斯分布的随机变量 X 的概率密度 f(x)=Ae- x , 求系数 A 及分布函数 F(x).解答： 由概率密度函数的性质知， - + f(x)dx=1, 即 - + Ae - x dx=1, 而 - + Ae - x dx= - 0Aexdx+ 0+ Ae -xdx =Aex - 0+(
11、 -Ae-x 0+ )=A+A=2A或 - + Ae - xdx=2 0+ Ae -xdx=-2Ae-x 0+ =2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2. 从而 f(x)=12e- x ,- 150= 150+ f(x)dx= 150+ 100x2dx=-100x 150+ =100150=23,从而三个电子管在使用 150 小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27. 习题 6 设一个汽车站上，某路公共汽车每 5 分钟有一辆车到达，设乘客在 5 分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的 10 位乘客中只有 1 位等待时间超过 4 分钟的概率 .解答： 设 X 为每位乘客
12、的候车时间，则 X 服从 0,5 上的均匀分布 . 设 Y表示车站上 10 位乘客中等待时间超过 4 分钟的人数 . 由于每人到达时间是相互独立的 . 这是 10 重伯努力概型 . Y 服从二项分布，其参数n=10,p=PX 4=15=0.2,所以 PY=1=C101 0.2 0.89 0.268.习题 7 设 X N(3,22).(1) 确定 C, 使得 PXc=PX c;(2) 设 d 满足 PXd 0.9, 问 d 至多为多少 ? 解答： 因为 X N(3,22), 所以 X-32=Z N(0,1).(1) 欲使 PXc=PX c, 必有 1- PX c=PX c, 即 PX c=1/2
13、,亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0, 故 c=3. (2) 由 PXd 0.9 可得 1- PX d 0.9, 即 PX d 0.1.于是 (d- 32) 0.1, (3- d2) 0. 9. 查表得 3- d2 1.282, 所以 d 0.436.习题 8 设测量误差 X N(0,102), 先进行 100 次独立测量，求误差的绝对值超过 19.6 的次数不小于 3 的概率 . 解答： 先求任意误差的绝对值超过 19.6 的概率 p,p=P X 19.6=1-P X 19.6=1-P X10 1.96=1 - (1.96)- (-1.96) =1-2 (1.96)-1=1- 2
14、 0.975 -1=1-0.95=0.05. 设 Y 为 100 次测量中误差绝对值超过 19.6 的次数，则 Y b(100,0.05). 因为 n 很大， p 很小，可用泊松分布近似， np=5= , 所以PY 31 -50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722- 5 0.87.习题 9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定 . 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布 N(4000,3600). 假定车间主任希望 10%的工人获得超产奖， 求： 工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答： 用 X 表示工人每月需装配的产品数，则 X N(4000,3600).设工人每月需完成 x 件产品才能获奖，依题意得 PX x=0.1, 即1-PXx 0.005.解答： 已知血压 X N(110,122).(1)PX 105=PX - 11012 - 5121 - (0.42)=0.3372, P100x 0.05, 求 x, 即 1- PX x 0.05 , 亦即 (x- 11012) 0.95,查表得 x- 10012 1.645, 从而 x 1
