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1、1 第三、四 (六、七节 )、五章 习 题 解 答习 题 3.1 1一个袋子中有 3 只黑球、 5 只白球一共 8 只球现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望解 ：用 X 表示所抽三球中的黑球数 则 )32,1,0k(, 38353CCCkXP kk 56635613561525630156100Ck)( 303835k3kkCCXE 2从学校乘汽车到某个公园的途中有 3 个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是 0.4，并且相互独立用 X 表示途中遇到的红灯数，求 X 的分布律和 E(X) 解 ： )4.0,3(BX ， 2.14.036.04.0k)( 3303kkkkC
2、XE 3根据气象资料，设某地区的年降雨量 X （单位 mm）的概率密度函数为0 x0,0 x,)( 2 xxexf ，其中 01.0 求该地区的年平均降雨量 E(X) 解 ： 20020)()(020 dxxexdxxdxxxfXE x 4设随机变量 X 具有概率密度函数1x0,1x,11)( 2xxf ，求 E(X) 解 ：根据奇函数积分性质可得 01)()(11 2 dxxxdxxxfXE 5设随机变量 X 具有分布律：求 E(X) ， E( 2X )， E(2X+3) 解 ： 10951252231011510101)2(x)(1kkkpXE ；51151252231011510101)
3、2(x)( 2222212k2kkpXE ；5245175261015513101)1()3(2x)32(1kkkpXE 6设随机变量 X 具有概率密度函数1 x0,1 x,1)( 2xxf 证明 X 的数学期望不存在X 2 0 1 23 2 P 101 51 101 52 512 证 ：由于 11 2 ln)( xdxxxdxxxf ，发散，故数学期望不存在7 设随机变量 X 的概率密度函数为 其他0, 1x0,)(axkxf ， 且 75.0)(XE ， 求正常数 k 与 a 的值解 ：由 11)(10 akdxkxdxxf a ， 75.02)()(101akdxkxdxxxfXE a
4、，得 2a,3k 8设 ),( baUX ，求 )54( XE ， )( 2XE 解 ：由2)(baXE 得 5)(25)(4)54( baXEXE ；3)()(22222 babadxabxdxxfxXE ba9设随机变量 X 具有概率密度函数0 x0,0 x,2)( 2 xexf ，求 )32( XE ， )( 3 XeE 解 ： 232123)(2)32( XEXE ；522)()( 02333 dxeedxxfeeE xxxX 10一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点若规定疵点数不超过 1 为一等品，价格 10 元；疵点数大于 1 但不多于 4 为二等品
5、，价格 8 元；疵点数 4 个以上者为废品，价格 0 元求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格解 ：用 X 表示每件产品上的疵点数，则 )(PX ， 8.0)(XE (1) 废品率 00141.02224.21!8.014014 8.0408.0ekeXPXPpkk(2) 用 Y 表示一件产品的价格（元） ， Y 取值 0,8,10 8088.0!8.01010108.0kkkeXPYP ； 1 8 9 8.0!8.0428 428.0kkkeXPYP ；00141.050 pXPYP 6064.900141.001898.088088.010)(YE （元） 习 题 3.2 1设
6、连续随机变量 X 的分布函数为1 x1,1x1bx,a1 x,0)(xF 试求： (1)常数 a 和 b； (2) E(X) ，)(XVar 解 ： (1) )(xF 处处连续， 0)01()1( FbaF ， 1)01()1( FbaF ，得 5.0ba 3 他其0,1x1,5.0)()( xFxf(2) 05.0)( 11 xdxXE ， 3105.0)()()(112222 dxxXEXEXVar 2设随机变量 X 的分布律为且 0.79Var(X),8.0)( 2XE 试求常数 cba , 解 ： 1cba ， 8.0)( 2 caXE ，79.0)(8.0)()()( 222 acX
7、EXEXVar 得 0.45c0.2,b,35.0a 3. 设 随 机 变 量 X 服 从 几 何 分 布 ， 分 布 律 为 3,2,1,k,)1( 1kppkXP ， 其 中 常 数)1,0(p 求 )(XVar 解 ：记 pq 1 ， pxxpxppqpXEqxqxkkkkkk11kx)( 1111k ；21211222 1k1k)()()(pxpppqXEXEXVarqxkkkk211pxxpqxkk22111 pppxxxpqx4设随机变量 X 具有概率密度函数其他0,2x11,1x0,23)(2xxxf 求 )12( 2XE ， XE 1 ， XVar 1 解 ：记30134131
8、4215531)1(x2321)(2)12( 21210422 dxxxdxXEXE ；2ln472ln143)1(1x2311 21102 dxxxdxxXE ；2221 2102222 2ln47212ln232ln47)1(1x231111 dxxxdxxXEXEXVar2)2(ln16332ln29 习 题 3.3 X 1 0 1 P a b c 4 1 设随机变量 )1,0(NX ， 利用标准正态分布表 （附表 1） 对下列各种情况求出常数 c， 并且用 p 分位数 pu表示 c(1) 95.0 cXP ； (2) 5.0 cXP ； (3) 8.0cXP 解 ： (1) 645.1
9、95.0uc ； (2) 05.0uc ；(3) 8.0121 cXPcXPcXPcXcPcXP ， 9.0 cXP ，282.19.0uc 2设随机变量 )(ExpX ，常数 0 若 X 的 0.70 分位数 12070.0x ，求参数 解 ： )0 x(,1)( xexF ， 0.71)120( 120eF ， 01.01203.0ln 复 习 题 3 1假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X（单位吨） ， )5000,1000(UX 设该商品每售出一吨可获利 3 万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费 1 万美元试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？
10、解 ：设国家计划年出口量为 s 吨， 5000,1000s 则利润函数为sX,3sX,4)(3)(ssXXsXXLs ，期望获利 10216000240001400034000)4()(6250001000ssdxsdxsxXLEsss 令 0)160004(40001)( sXLEdsds ， 当 4000s 吨时， )( XLE s 取最大值，即期望获利最多2 设随机变量 X 具有概率密度函数 他其0, 1x0,)(2axxf ， 试求： (1)常数 a ； (2) E(X) ； (3) )( XEXP 解： (1) 由 13ax)(102 adxdxxf ，得 3a (2) 433x)(
11、 210 dxxXE (3) 6437431343)(21432dxxXPXEXP 3设 X 是随机变量， c 是常数，证明： 2)( cXEXVar 证 ： 22 )()()( cXEXEXEcXEXVar)()()()()()(2)( 222 XVarcXEXVarcXEcXEXEXXEXE 5 4设随机变量 X 服从瑞利分布，其概率密度函数为00,0 x,)( )2(2 22xexxf x， 其中常数0 瑞利分布常用于描述随机噪音求 E(X) ， )( XVar 解 ：设 22Y22exp21)(f),0( yyNY 则 ， 222 E(Y)Var(Y)E(Y,0)(YE 2)(212e
12、xp2212exp1)()( 2222222022 YEdxxxdxxxdxxxfXE2 ；22expd)(22exp1)()()( 2220222203222 xxdxxxXEXEXVar222202022224222f(x)dx22expxx 5由统计物理学知，一种气体分子运动的速率 V 服从 Maxwell 分布，其概率密度函数为00,0 v,)( 22veAvvf bv， 其中常数kTmb2 ， k 为 Boltzmann 常数， T 为绝对温度， m 为气体分子质量 试确定常数 A ，并求动能 221 mVE 的平均值解 ：设 bxebxbNX21)(f,2,0 X则 ， 0)(XE
13、 ，2E(X)Var(X)E(X222 2 bdxebx bx 由 122)(2v2Av)(2202 22 bbAXEbAdvebbAdvedvvf bvbv ，得bbA 4 221 mVE 的平均值 )(42)(mv21)(03042 22 bvbv edvAbmdvevAmdvvfEE)(834334 02020203 2222 bvbvbvbv evdmAbdvevAbmdvevevAbm6 kTmmbAmbdxxfAmbdvevemAbXbvbv8343163)(16383 22525002 22( kTmb 2 代入 )6设随机变量 )(PX ，常数 0 求 X 的众数解 ：由于 )
14、Nk(,! kekXP k ，k1,k0,1)!1(!1 1kkekekXPkXP kk ， 所以 *x 习 题 4.6 1 设随机变量 )Y,( X 的概率密度函数为 他其0,1xy0),(2),( yxyxf 求 E(X) ， E(Y) ， )( XYE ，)( 22 YXE 解 ：433)(2),()( 103010 dxxdyyxxdxdyyxxfdxXEx；12535)(2),()( 103010 dxxdyyxydxdyyxyfdxYEx；1581532)(2),()( 103010 dxxdyyxxydxdyyxfxydxXYEx；3011611)()y(x2),()y(x)(
15、104022102222 dxxdyyxdxdyyxfdxYXE x 2设随机变量 0.2)B(10,Y),3( PX (1) 求 )2( YXE ， )2( 22 YXE ； (2) 又设 X 与 Y 相互独立，求 E(XY) 解 ： (1) 72.010232)(2)()2( npYEXEYXE ；1293)()()( 222 XEXVarXE ；6.5)2.010(8.02.010)()()()( 2222 npnpqYEYVarYE ；4.186.5122)()(2)2( 2222 YEXEYXE ；(2) 62.0103)()()( npYEXEXYE 3设随机变量 )9,1(NX ，随机变量 Y 的概率密度函数为10,1y,3)( 4yyyfY (1) 求 )2( YXE ， )3( 2XYE ； (2) 又设 X 与 Y 相互独立，求 E(XY) 7 解 ： (1) 233)(1 4 dyyyYE ，21232232)()(2)2( YEXEYXE ；257)19(323)()(3)()( 222 XEXVarYEXYE ；(2) 2323123)()()( YEX
