《高等数学教学课件同济六版 张士军 12 5 函数展开成幂级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学课件同济六版 张士军 12 5 函数展开成幂级数（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一 泰勒级数 二 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一 泰勒级数 二 函数展开成幂级数 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 令 令 令 令 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么
2、条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 令 令 令 令 f x 能展开成 x x0 的幂级数f x 在x0处有任意阶导数 例 定义 设f x 在x0处有任意阶导数 称 为f x 在x0处的泰勒级数 x
3、0 0时 称为麦克劳林级数 若在包含x0的某区间I内 等式 成立 称上式为f x 的泰勒展开式 x0 0时 称为麦克劳林展开式 则 f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f x 的泰勒公式中的余项 证明 令 设函数 f x 在点 x0 的某一邻域 U x0 具有各阶导数 定理 当时的极限为零 即 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 幂级数 引言 例意义 近似计算 理论研究 研究问题 在什么条件下能展开为幂级数
4、 的展开式在什么范围内成立 的展开式是否唯一 的展开式如何确定 函数展开成幂级数 一 泰勒级数 二 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一 泰勒级数 二 函数展开成幂级数 二 函数展开成幂级数 一 直接展开法 二 间接展开法 二 函数展开成幂级数 一 直接展开法 二 间接展开法 展开步骤 1 求函数及其各阶导数在 x 0 处的值 2 写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径 R 3 判别在收敛区间 R R 内是否为0 将函数 展开成 x 的幂级数 解 其收敛半径为 对任何有限数 x 其余项满足 故 在0与x 之间 故得级数 u例1 将展开成 x 的幂级数 解 得级数 其收敛半径为 对任何有限数 x
5、其余项满足 u例2 将函数展开成 x 的幂级数 其中m 为任意常数 于是得 级数 由于 级数在开区间 1 1 内收敛 因此对任意常数 m u例3 解 则 为避免研究余项 设此级数的和函数为 称为二项展开式 l注 1 在 x 1 处的收敛性与 m 有关 2 当 m 为正整数时 级数为 x 的 m 次多项式 上式就是代数 学中的二项式定理 由此得 对应的二项展开式分别为 二 函数展开成幂级数 一 直接展开法 二 间接展开法 二 函数展开成幂级数 一 直接展开法 二 间接展开法 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 通过幂级数的运算 如四则 运算 逐项求导 逐项积分 以及变量代换等 将所给的函数 展开成幂级数 u例 把换成 把换成 从0到x积分 从0到x积分 u例 逐项求导 u例 把换成 u例4 把函数展开成x的幂级数 u例5 将函数展开成的幂级数 u例6 将函数展开成的幂级数
