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1、作业一 1. 如果选定简单立方点阵 aelemenR zyx )( 为基准，假设 n， m， l 三 个整数全为奇数或全为偶数，这是什么点阵？这是布拉菲点阵吗？ （点阵常数 a在解答中就忽略了） 无论 n,m,l 均为 奇数还是 偶数时， 任意两点之间的平移都 可以表示为 (2 ,2 ,2 )x y ze e e 的线性组合，说明选取的点阵基矢可以表示为 (2 ,2 ,2 )x y ze e e 。由于这组基矢已经满足最高对称性，不可能存在其他的矢量选择得到更高对称性，因此得到的点阵都是简单立方点阵。 有部分人参考答案书 ，将点阵矢量（奇数点）表达为 R=2nml+111，认为这是 BCC 的
2、表达，实际上后面的 111是整个点阵的平移，是原点位置的改变，而不是在体心存在等同点 。 因为任意两点之间的平移量只能由 (2 ,2 ,2 )x y ze e e线性组合得到，而不存在 ( , , )x y ze e e 的平移量，实际上点阵是 SC。 2. 底心立方是否为布拉菲点阵？证明所得观点。 不是布拉菲点阵。 布拉菲点阵是 体现出 点阵 最高 对称性要求下的 最小 阵点单元 。 底心立方的基本对称性满足四方晶系的要求，并不满足立方晶系的要求。其对应的布拉菲点阵实际是简单四方。 3. 证明体心立方点阵的维格纳 -塞茨原胞的体积确实是体心立方的原胞体积 。 体心立方的原胞体积为晶胞体积的一
3、半，即 312a ，也可以通过基矢的混合积得到 331 1 1 1( 0 1 0 0 0 1 ) 2 2 2 2V a a 。 体心立方的维格纳 -塞茨原胞是截角八面体，其体积为 （截前四棱锥的对角线长为 3/4a,截去部分对角线为 1/4a）22 31 1 3 3 1 1 1263 2 2 4 3 2 2 4 2aaV a a a 4. 四面体角。 在金刚石结构中，其四面体键之间的角同立方体体对 角 线之间的角一样，如图 10 所示，请用初等矢量分析方法求出这个角度的大小。 由于四面体角与立方体体对角线之间的角一样，因此可以得到其 夹角 1 1 1 1 1 1 1a r c c o s a
4、r c c o s 7 0 . 5 333 ，实际上一般选择角度为109.47 （ 109 28） 。 5. 面指数。考虑指数为（ 100）和（ 001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是惯用立方晶胞。若采用图 11 的初基轴，这些面的指数是多少？ 选择原胞的基矢在晶胞坐标中的表示为 1 1 1 1 1 1 0 ,0 , 0 2 2 2 2 2 2，那么可以得到两组正空间基向量之间的转换关系 123 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2exeyez 结合倒易关系*11 2 3 2*3 , , , , , exe e e e x y z yez
5、II，可以得到 *123 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2xeyeze 则可以得到（ 100）和（ 001）可以分别表示为 1 1 1 1( 0 ),(0 )2 2 2 2 或 (101),(011) ，当然直接使用截距也很好计算，但是上述方法可以让你们更好理解倒易关系。 6. 画出硅单晶中 T 群的所有旋转轴。（硅单晶为金刚石结构） T 群的基本对称元素为四个三次旋转轴三个二次旋转轴。硅单晶的所有旋转轴为 （三次轴）和 （二次轴）。 群的国际符号三个数字是表示对应主轴的对称性，比如立方系中的三个主轴分别为 ,，那么对应的点群国际符号给出就知道
6、相应轴的对称性。例如 Oh 群 423mm，表示 轴是四次轴，且存在垂直于轴的镜反射对称； 轴是三重反轴； 是二次轴，且存 在垂直轴的镜反射对称。 7. 分别求出 SC（简单立方） ， BCC（体心立方） ， FCC（面心立方） 点阵的 16层近邻原子数及距离。 由于立方系晶体具有高度对称性，可以只考虑第一卦限（包括边界）内的矢量，这些矢量可以由卦限内的基本矢量的线性组合得到。 为了方便思考，这些基本矢量数目多于基矢数目，以保证其组合系数为正整数，同时考虑组合方式时考虑基矢分类，以免重复。 SC 基本矢量包含 100,010,001。可以得到 16 级近邻坐标，原子数及距离(单位： a)分别
7、为 ,6,1； ,12,2； ,8,3； ,6,2； ,24,5； ,24,6 BCC 基本矢量包含 100,010,001,111/2。可以得到 16 级近邻坐标，原子数 （ 24/轴对称性） 及距离 (单位： a)分别为 /2,8,3/2； ,6,1； ,12,2； /2,24,11/2； ,8,3；,6,2 FCC 基本矢量包含 100,010,001,110/2,101/2,011/2。可以得到 16 级近邻坐标，原 子数及距离 (单位： a)分别为 /2,12,2/2； ,6,1； /2,24,6/2； ,12,2； /2,24,10/2；,8,3 8. 计算六角密排晶体的 惯用晶胞 在长轴和面内的晶格常数之比 c/a。 六角密排结构的 c/a 为两倍的四面体高与边长的比 ，即222632 1 .6 3 33acaaa 9. 钠 （原子量 23） 具有体心立方结构， 晶格常数为 a = 4.23， 计算钠的密度 ？ 体心立方晶胞 含有两个原子 ， 因此可以得到钠的密度为-32 3 3 2 4 32 2 3 g 1 . 0 g c m6 . 0 2 1 0 4 . 2 3 1 0 c m
