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1、1必考解答题模板成形练(六)函数与导数(建议用时：60 分钟)1已知函数 f(x) x3 ax2 b(a， bR)(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若对任意 a3,4，函数 f(x)在 R 上都有三个零点，求实数 b 的取值范围解(1)因为 f(x) x3 ax2 b，所以 f( x)3 x22 ax3 x .(x2a3)当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)没有单调递增区间；当 a0 时，令 f( x)0，得 0 x .2a3故 f(x)的单调递增区间为 ；(0，23a)当 a0 时，令 f( x)0，得 x0.2a3故 f(x)的单调递增区间为 .(23a， 0)综上所述，
2、当 a0 时，函数 f(x)没有单调递增区间；当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 ；(0，23a)当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 .(23a， 0)(2)由(1)知， a3,4时， f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为(0，23a)(，0)和 ，(23a， )所以函数 f(x)在 x0 处取得极小值 f(0) b，函数 f(x)在 x 处取得极大值 f b，2a3 (2a3) 4a327由于对任意 a3,4，函数 f(x)在 R 上都有三个零点，所以Error! 即Error!解得 b0，4a327因为对任意 a3,4， b 恒成立，4a3272所以 b max
3、4，(4a327) 43327所以实数 b 的取值范围是(4,0)2已知函数 f(x) ln x1， aR.ax(1)若曲线 y f(x)在点 P(1， y0)处的切线平行于直线 y x1，求函数 y f(x)的单调区间；(2)若 a0，且对 x(0,2e时， f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)直线 y x1 的斜率 k1，函数 y f(x)的导数为 f( x) ，ax2 1xf(1) a11，即 a2. f(x) ln x1， f( x) .2x 2x2 1x x 2x2 f(x)的定义域为(0，)由 f( x)0，得 x2；由 f( x)0，得 0 x2.函数 f(x)的单
4、调增区间是(2，)，单调减区间是(0,2)(2) a0， f(x)0 对 x(0,2e恒成立，即 ln x10 对 x(0,2e恒成立ax即 a x(1ln x)对 x(0,2e恒成立，设 g(x) x(1ln x) x xln x， x(0,2eg( x)1ln x1ln x，当 0 x1 时， g( x)0， g(x)为增函数，当 1 x2e 时， g( x)0， g(x)为减函数，所以当 x1 时，函数 g(x)在 x(0,2e上取到最大值 g(x) g(1)1ln 11， a 的取值范围是(1，)3已知函数 f(x) x3 bx2 cx3， y f( x)为 f(x)的导函数，满足 f
5、(2 x)13 f( x)； f( x)0 有解，但解却不是函数 f(x)的极值点(1)求 f(x)；(2)设 g(x) x ， m0，求函数 g(x)在0， m上的最大值；f x(3)设 h(x)ln f( x)，若对于一切 x0,1，不等式 h(x1 t) h(2x2)恒成立，求实数 t 的取值范围解(1) f( x) x22 bx c， f(2 x) f( x)，函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， b1.3由题意， f( x) x22 x c0 中 44 c0，故 c1.所以 f(x) x3 x2 x3.13(2) f( x) x22 bx1( x1) 2， g(x) x|x1|
6、Error!当 0 m 时， g(x)max g(m) m m212当 m 时， g(x)max g ，12 1 22 (12) 14当 m 时， g(x)max g(m) m2 m，1 22综上 g(x)maxError!(3)h(x)2ln| x1|， h(x1 t)2ln| x t|， h(2x2)2ln|2 x1|当 x0,1时，|2 x1|2 x1，所以不等式等价于 0| x t|2 x1 恒成立，解得 x1 t3 x1，且 x t，由 x0,1，得 x12，1，3 x11,4，所以1 t1，又 x t， t0,1，所求的实数 t 的取值范围是(1,0)4已知函数 f(x) k(lo
7、gax)2(log xa)2(log ax)3(log xa)3，g(x)(3 k2)(logaxlog xa)，(其中 a1)，设 tlog axlog xa.(1)当 x(1， a)( a，)时，试将 f(x)表示成 t 的函数 h(t)，并探究函数 h(t)是否有极值；(2)当(1，)时，若存在 x0(1，)，使 f(x0) g(x0)成立，试求 k 的范围解(1)(log ax)2(log xa)2(log axlog xa)22 t22，(logax)3(log xa)3(log axlog xa)(logaxlog xa)23 t33 t， h(t) t3 kt23 t2 k，(
8、t2)4 h( t)3 t22 kt3设 t1， t2是 h( t)0 的两根，则 t1t20， h( t)0 在定义域内至多有一解，欲使 h(t)在定义域内有极值，只需 h( t)3 t22 kt30 在(2，)内有解，且 h( t)的值在根的左右两侧异号， h(2)0 得 k .94综上：当 k 时 h(t)在定义域内有且仅有一个极植，当 k 时 h(t)在定义域内无极94 94值(2)存在 x0(1，)，使 f(x0) g(x0)成立等价于 f(x) g(x)的最大值大于 0. tlog axlog xa， m(t) t3 kt2 k2t2 k，( t2)， m( t)3 t22 kt k20 得 t1 k， t2 .k3当 k2 时， m(t)max m(k)0 得 k2；当 0 k2 时， m(t)max m(2)0 得 k2；17 12当 k0 时， m(t)max m(2)0 不成立当6 k0 时，m(t)max m(2)0 得6 k ； 17 12当 k6 时， m(t)max m 0 得 k6.(k3)综上得： k 的取值范围是 .( ， 17 12 ) (17 12 ， )
