《福建中学数学 空间中陷迷茫平面中找本质 对2014年江西高考理科第10题的探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建中学数学 空间中陷迷茫平面中找本质 对2014年江西高考理科第10题的探究（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 年第 5 期福建中学数学41 0 120 211x kky 12 11 kkkk 00 00 42 8 yx xy 一般地 对椭圆 22 22 1 xy ab 无论点P在椭圆上 除长轴端点外的哪一点 都有 2 2 12 112a kkkkb 定 值 对于双曲线 22 22 1 xy ab 若 12 FPF 的外角平分 线PM交x轴于点M 无论点P在双曲线上除实轴 端点外的哪一点 都有 2 2 12 112a kkkkb 定值 通过对一道高考压轴题的分析 本文从八个不 同视角研究了角平分线的性质 提供了 14 种繁简各 异的解法 涉及三角形内角平分线定理 直线方程 点到直线的距离 平面
2、向量的共线与垂直 向量夹 角公式 余弦定理 到角公式 二倍角公式 互余 的三角函数诱导公式 斜率的定义 三角形面积 焦点三角形性质 三角形内切圆性质 向量运算的 几何意义 对称性质 光学性质等等知识点 思维 跨度大 涉及知识面广 解法灵活又各具特色 并 且对一般形式的椭圆和双曲线加以推广 得到两个 相同或类似的结论 充分体现了高考试题的延展性 发挥了高考试题的教育功能 空间中陷迷茫 平面中找本质空间中陷迷茫 平面中找本质 对 2014 年江西高考理科第 10 题的探究 郑志景福建漳州外国语学校 363000 立体几何是平面几何的延伸与拓展 两者之间 不断升维与降维的转化中实现内容的补充和问题的
3、 解决 虽然有的平面几何定理不能移到空间 但在 空间的任一平面上 平面几何的结论都是成立的 因 此 选取或构造一个恰当的平面 使问题在这个平 面上获得突破性进展 甚至全部解决 是一种自然 而重要的思考方法 而 局部平面化 策略 则是把 平 面 作为一个缓冲带 将 立体 的局部还原为 直线和 平面 使问题转化在同一个平面内研究 再将 直线 和平面 重新归位到 立体 中 从而逐步提高学生的 空间想象能力 以下通过 2014 年江西高考理科第 10 题 来说明 例例 2014 年高考江西卷 理 10 如图 1 在长 方体 1111 ABCDABC D 中 11AB 7AD 1 12AA 一质点从顶点
4、A射向点 4 3 12 E 遇 长方体的面反射 反射服从光的反射原 理 将第1i 次到第i次反射点之间的 线段记为 2 3 4 i L i 1 LAE 将 线段 1 L 2 L 3 L 4 L竖直放置在同一 水平线上 则大致的图形是 L1 L4 L2 L3 L1L2L3L4 L4 L1L2 L3 L1L2 L4 L3 A B C D 分析分析 本题是图象题 问题情景新颖 是立体几 何知识 建立数学模型 光学知识的综合 考查考 生的看图 辨图能力 空间想象能力以及运算能力 是一道很好的压轴题 但如果直接在长方体中去想 象 难度很大 第一次在E点反射后 第二次的反 射点 1 E落在平面ABCD上
5、考生还能想象得出来 但是 第二次反射 该质点又将反射到哪个面 而 要进行运算 又无从下手 考生只能以 不放弃 为原 则 随手写下选项 于是成了一道 听天由命题 这 显然违背了出题者的意图 解题应提倡 简单化 原则和 目标性 原则 当学 生在面对数学问题时 可以较为清晰地认清问题的 所在 并能迅速准确地找到解决的方法 研究空间 图形的本质上仍然是研究平面图形 在平面中进行 运算 显然解决此题的突破口是如何将其局部平面 化 1 纯纯 平几化平几化 通过 局部平面化 策略 化 立几 为 平几 逐 步得到各线段长度 1 1 将面将面 1111 ABC D平面化平面化 B1 A A1 D1 B x z
6、y E C1 C D 图 1 42福建中学数学2015年第5期 B1 A A1 D1 B x z y E C1 C D C1 M1D1 A1B1 F 4 3 E 图 2 如图 2 由 1111 AEFAM D 可得 1 5AE 11 28 3 D M 11 35 3 AM 1 2 将面将面 11 A AMM平面化平面化 图 3 B1 A A1 D1 B x z y E C1 C DM M1 M1 A1 M E2 E1A E B1 A A1 D1 B x z y E C1 C DM M1 E1 E2 如图 3 设第二次的反射点为 1 E 第三次的反射 点为 2 E 由 1 5A E 可知 22
7、11 AEA EAA 22 51213 111 35 210 3 A EA E 又由 1 AA E 21 E ME 可得 2 4ME 12 13 3 E E 其中 1 LAE 21 LEE 312 LE E 显然 123 LLL 1 3 将面将面 11 A AMM进行反射 得到面进行反射 得到面 11 MM N N 设第三次的反射点为 3 E 3 E必在面 11 MM N N 上 如图 4 图 4 B1 A A1 D1 B x z y E C1 C D M M1 E1 E2 N N1 N B1 A A1 D1 B x z y E C1 C D M M1 E1 E2 N1 E11 C N M B
8、A D E1E 11 图 5 1 4 将底面将底面ABCD平面化 在线段平面化 在线段MN上得到上得到 1 E 的对称点的对称点 11 E 如图 5 由AMDNMC 可得 25 12 MN 并 且 111 5 3 MEME 1 5 将面将面 11 MM N N平面化平面化 N B1 A A1 D1 B x z y E C1 C D M M1 E1 E2 N1 E11 E3 N1M1 NM E2 E11 E3 图 6 如图 6 则转化为 由入射光线 112 E E通过点 2 E反 射到 23 E E 可算出 23 65 12 E E 即 4233 LE EL 综上 1243 LLLL 答案为 C
9、 2 平几平几 直观直观 完成以上的运算至少得 20 分钟 性价比并不高 要在考场上争分夺秒 靠这么精确的运算显然不可 取 此法忽略了平面图形的一大特征 直观性 判断平面图形资料考查了考生的直觉判断能力 大 部分试题可以通过对图形的定性分析得到结果 而 不需要进行精确的计算 因此 用 直观法 来直接比 较 可起到简化的作用 先完成 1 1 1 2 的运算 得到 123 LLL 在 1 3 中 将 空间上 12 E E与 23 E E的关系 转化 平面内 112 E E 与 23 E E的关系 再通过 局部平面化 策略 结合 图 5 和 图 6 可直观地看出 43 LL 由此节省了 1 3 1
10、5 的繁琐计算 3 立几立几 平几平几 直观直观 平面化使海市蜃楼般的空间想象有了立足点 生长点 如果不顾一切的平面化 那么就又陷入了 另一个怪圈 忽视了平面化的最终目的是为了更好 地理解立体图形 思考思考 既然能够通过 直观比较法 简化了 1 3 1 5 的繁琐计算 得到 3 L的 4 L大小关系 那么 1 L和 2 L的 大小是否也能够直观判断 显然 通过图形可以直 观地看出 12 LL 但不经过 1 1 1 2 的运算 又无法 得到 图 5 和 图 6 也就没法直观判断 3 L和 4 L的大 小 对于 1 1 1 2 的运算进行简化迫在眉睫 解决方案解决方案 在 立几 中 建系 是常用方法 因为 0 0 0A 4 3 12 E 由对称性有 1 8 6 0 E 由 此避开了 1 1 1 2 的繁琐运算 再平面化得到 图 4 和 图 5 直观地看出 43 LL 答案 C 思维是数学的灵魂 每一种具体的数学知识都 包含深刻的思想方法 每一种思想方法又统摄若干 问题 立体几何的平面化思想正是化归思想的具体 体现 能够主动自觉的运用化归思想处理立体几何 问题 为寻求问题的解决打开了广阔的思维空间 参考文献参考文献 1 李庆社 立体几何问题中的转化策略 理科考试研究高中 J 2012 10 3 5 2 陈海泉 三视图模型化 中学数学教学参考 J 2012 7 上旬 58 59
