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1、 第三章矩阵白I()【_(乏薹【】才【亡_/佳开二丨J矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与计算P起着十分重要的作用,而且在控制理论、系统分析等领域有广泛的应用.3.1不变因子与初等因子形如hn(刀an(力.tn(力)国匹0-.Gn(力0n(切.an(力的zxn型矩阵称为-矩阵或多项式矩阵,其中a,(力(f=12,.,m;=12,-.,川为丿的多项式.2-矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算都与数字矩阵相同,而且有相同的运算规律.对nxn的2-方阵可类似定义行列式、子式、余子式、伴随矩阵等概念.如果-矩阵4(中有一个r阶子式(rUD不为零,而所有“+1阶子式(如果存在的话全为零,则称4(
2、)的秩为r,记为razk4(乙=r.零矩阵的秩为0.当zank(4,(办)=时,称4,(力为满秩的或非奇异的.定义3.1设有n阶丿-矩阵4(、B(力,若可使4(0B(力五B(力4力二万,成立,则称4()为可逆的,B()称为4()的送矩阵,记为47(力).满秩的2-矩阵不一定可逗.定理3.1n阶-矩阵4(可逆的充要条件是4()的行列式是一个非零常数.证明若丿-矩阵4(办可逆,则有4力B义=B(力4(力一已,成立,对其两边取行列式便有|(|B(力|=1,由于|4力|、|B(力|都是丿的多项式,所以|4()|、|B(力|都是常数反之,设|4(刀ex0,贝(量j飞凡D-东刀二几)-置才(力)=Eo,所
3、以4(力是可逗的,(几)一二量4(兔)其中4()是力的伴随矩阵例3.1“-矩阵又+儿+3+1元E口|,20一,元十3元十52+4儿2中,因为det4(=4,aqetB(力=心+2,所以4()是可逆的,B(是不可逆的.丿-矩阵也有初等变换和初等矩阵.2-矩阵的初等行(列变换,是指以下三种变换:1.交换4(的第i行(列与第7行(列);2-用非零的数K乘以4(的第7行(列2;3-将4(4)的第行(列)乘以一个多项式b()后,加到第?行(列上.2-矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次2-矩阵的初等行(列)变换后所得的方阵.初等变换和初等矩阵都是可逆的定理3.2对任意一个mxn型的a-矩阵4(),作一次菜种初等行(列变换,相当于给4()左(右)乘一个相应的m阶(n阶初等矩阵.定义3.2设4(0、B()是两个同型的-矩阵,如果4(4可以经过有限次初等变换化为8(4),则称4()与8(是等价的,记作4()=B(4).等价关系具有以下性质:1.自反性:4(力=4力;2.对称性:如果4(力与B(力,那么B(力与4力-3传递性:如果4(力=B(力且B力与C(D,那么4(力与C(D.
