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1、选修4 1几何证明选讲 1 第一讲全等与相似 走进高考第一关考点关 回归教材 2 1 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 截得的对应线段成比例 如图示 l1 l2 l3 直线a b与l1 l2 l3分别交于A B C D E F 则 3 4 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的对应线段成比例 如图示 5 3 推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 6 2 三角形内角平分线定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例 如图 在 ABC中 AD平分 BA
2、C AD交BC于点D 则 7 3 直角三角形的射影定理 1 定理 直角三角形的每一条直角边都是它在斜边上的射影与斜边的比例中项 斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项 如图 在 ABC中 ACB 90 CD AB于D 则 8 AC2 AD AB BC2 DB AB CD2 AD DB 2 逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 9 考点训练 10 答案 1 11 12 2 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D AD 3 DB 5 则AC 解析 由题意可知CD2 AD5DB 3 5 15 AC2 CD2 AD2 15 9 2
3、4 13 3 在 ABC中 BAC 90 AD BC于D A的平分线交BC于E 如图所示 下列比例关系中正确的有 答案 14 解析 由射影定理得 AB2 BD BC AC2 DC BC 故 正确 填 15 解读高考第二关热点关 题型一平行线分线段成比例定理的应用 例1如图所示 已知直线FD和 ABC的BC边交于D 与AC边交于E 与BA的延长线交于F 且BD DC 求证 AE FB EC FA 16 17 18 点评 证明比例关系时 注意作平行线构造基本图形从中得到相应的关系 本题也可过B或C作平行线 19 20 21 题型二直角三角形的射影定理的应用 例2如图 Rt ABC中 BAC 90
4、AD BC于D BE平分 ABC交AC于E EF BC于F 求证 FE DF BC AC 22 23 点评 直角三角形的射影定理给出了几组成比例线段 它经常与平行线截线段成比例定理以及相似三角形等关系相结合转化比例线段 在解题时注意灵活运用 24 变式2 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D 且AC BC 若CD 4 AB 10 则AC 25 解析 设AD x 则DB 10 x 由CD2 AD DB 得42 x 10 x 解得 x 2或x 8 由AC BC x 8 AC2 AD AB 8 10 80 26 笑对高考第三关技巧关 典例 2009 江苏高考 如图 在四边形ABCD中
5、 ABC BAD 求证 AB CD 27 证明 方法1 ABC BAD ACB BDA 故A B C D四点共圆 CAB CDB 再由三角形全等性质 得 CAB DBA 因此 BDC ABD 所以AB CD 28 方法2 ABC BAD BAC ABD AC BD 设AC BD E 则 ABE为等腰三角形 AE BE 29 方法3 如图延长AD BC交于F ABC BAD ABC BAD 且AD BC ABF为等腰三角形 AF BF 30 点评 几何证明中存在着极大的思维空间 同一个题目可以从多种角度去分析解决 所以在学习这一部分时 不要拘于图形的限制 注意利用所给条件去创造定理的背景 从而解
6、决问题 31 课时作业 一 全等与相似 32 一 选择题 1 如图 AB CD EF 且AO OD DF BC 12 则BE为 A 9B 10C 15D 18 答案 D 33 解析 由条件知OB OC CE 又BC 12 OB OC CE 6 BE 18 34 2 如图 ABC中 BD平分 ABC DE CB 若AB 6 BC 4 则DE的值为 答案 B 35 36 3 在梯形ABCD中 M N分别是腰AB与腰CD的中点 且AD 2 BC 4 则MN等于 A 2 5B 3C 3 5D 不确定 答案 B 解析 由梯形中位线定理 知选B 37 4 如图所示 已知 ABC ADE 且 ADE B 则
7、下列比例式中正确的是 A AE BE AD DCB AE AB AD ACC AD AC DE BCD AE AC DE BC 答案 D 38 答案 B 39 40 6 如图 在 ABC中 AB AC D在AB上 E在AC的延长线上 BD 3CE DE交BC于F 则DF FE等于 A 5 2B 2 1C 3 1D 4 1 答案 C 41 解析 过D作DG AC 交BC于G 则DG DB 3CE 即CE DG 1 3 又DF FE DG CE 所以DF FE 3 1 42 二 填空题 43 44 45 8 如图 AB AC AD BC于D M是AD的中点 CM交AB于P ND CP 若AB 6c
8、m 则AP 答案 2cm 46 解析 由AD BC AB AC 知BD CD 又DN CP BN NP 又AM MD PM DN知AP PN AP AB 2cm 47 9 如图 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB于点D AD 4 sin ACD 则CD BC 48 49 10 如图 等腰直角 ABC中 ACB 90 点D在BC上 ADC 60 在AD上取点E 使AE ED 2 1 过点E作EF BC 交AB于F 连结CF交AD于P 那么S EFP S DCP 50 51 三 解答题 52 11 如图 AB是Rt ABC的斜边 AE是 CAB的平分线 CD AB于D点 交AE于点F FM AB交BC于点M 求证 2 CE MB 53 证明 1 AE是 CAB的平分线 CAE BAE DBC DCB 90 ACD DCB 90 ACF DBC ACF ABE 54 55 12 等腰三角形ABC中 AB AC D为BC中点 DE AC于E F为DE中点 求证 AF BE 56 解 采用坐标法建立平面直角坐标系 利用 0 证明AF BE 证明 建立如图坐标系 由已知可设 C 1 0 A 0 m 57 58 59
