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1、2 1 空间点 直线 平面之间的位置关系 主要内容 2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 2 1 3空间中直线与平面之间的位置关系 2 1 1平面 2 1 1 平面 构成图形的基本元素 点 线 面 点无大小 线无粗细 面无厚薄 点 直线 平面 可无限延伸的 平面是可无限延展的 平面的符号表示 1 希腊字母 平面 平面 平面 平面的表示 平面的表示 两个相交平面的画法和表示 平面 和平面 相交于一条直线a 被遮住的部分画虚线 平面 平面 直线a 平面的表示 直线和平面都可以看成点的集合 点P在直线l上 点A在平面 内 用集合符号表示点与直线 点与平面 直线与平面的关系 点P在直线l外 点A在
2、平面 外 直线l在平面 内 或者说平面 经过直线l 直线l在平面 外 平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 思考1 如何让一条直线在一个平面内 作用 为判断直线与平面的位置关系提供依据 集合符号表示 平面经过这条直线 平面的基本性质 公理2过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 思考2 经过两点可以确定一条直线 那么经过几个点可以确定一个平面呢 作用 判断几个点共面或直线在同一个平面内 集合符号表示 不共线的三点确定一个平面 已知A B C三点不共线 则存在惟一平面 使得A B C 平面的基本性质 思考3 如果两个平面有一个公共点 那么还会有其它公共
3、点吗 如果有这些公共点有什么特征 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 判断两个平面位置关系的基本依据 例题 例1如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 解 1 A B l a A a B 2 a b l a l P b l P a b P 2 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系 两条直线的位置关系 思考1 同一平面内两条直线有几种位置关系 空间中的两条直线呢 C 1 教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何 2 天安门广场上 旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何 两条直线的位置关系 定义不同在任何一个平
4、面内的两条直线叫做异面直线 异面直线的图示 两条直线的位置关系 A 空间中既不平行又不相交的两条直线 B 平面内的一条直线和这平面外的一条直线 C 分别在不同平面内的两条直线 D 不在同一个平面内的两条直线 E 不同在任何一个平面内的两条直线 关于异面直线的定义 你认为下列哪个说法最合适 问题 两条直线的位置关系 空间中的直线与直线之间有三种位置关系 不同在任何一个平面内 没有公共点 同一平面内 有且只有一个公共点 同一平面内 没有公共点 如图是一个正方体的表面展开图 如果将它还原为正方体 那么AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对 探究 直线EF和直线HG 直线AB和直
5、线CD 直线AB和直线HG 答 3对 平行直线 如图 在长方体ABCD A B C D 中 BB AA DD AA 那么BB 与DD 平行吗 观察 答 平行 平行直线 公理4平行于同一直线的两条直线互相平行 空间中的平行线具有传递性 如果a b b c 那么a c 三条平行线共面 三条平行线不共面 平行直线 已知三条直线两两平行 任取两条直线能确定一个平面 问这三条直线能确定几个平面 三条平行线共面 三条平行线不共面 问题 平行直线 例2如图 空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 F G D A E B C H 在上例中 如果
6、再加上条件AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 探究 答 四边形EFGH是菱形 等角定理 在平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 空间中 结论是否仍然成立 思考1 如图 四棱柱ABCD A B C D 的底面是平行四边形 ADC与 A D C ADC与 B A D 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 思考2 ADC A D C ADC B A D 1800 等角定理 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 异面直线所成的角 思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角 常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系
7、这个角叫做两条直线的夹角 在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢 a 平面内两条相交直线 空间中两条异面直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线 把与所成的锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0 那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么 如果两条异面直线所成角为900 那么这两条直线垂直 探究 记直线a垂直于b为 a b 异面直线所成的角 探究 1 在长方体中 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线 2 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直 那么 另一条直线是否也与这条直线垂直 3 垂直于同一条直线的两
8、条直线是否平行 垂直 异面直线所成的角 例3已知正方体 1 哪些棱所在直线与直线是异面直线 2 直线和的夹角是多少 3 哪些棱所在的直线与直线垂直 解 1 由异面直线的定义可知 棱所在的直线分别与直线是异面直线 2 由可知 为 异面直线与的夹角 所以与的夹角为 在如图所示的长方体中 AB 且AA1 1 求直线BA1和CD所成角的度数 30O 练习1 本节小结 1 空间直线的三种位置关系 2 平行线的传递性 3 等角定理 4 异面直线所成的角 基本知识 基本方法把空间中问题通过平移转化为平面问题 2 1 3 空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面 思考 1 一支铅笔所在的直线与一个作业本所在
9、的平面 可能有几种关系 直线与平面 直线和平面的位置关系有且只有三种 1 直线在平面内 有无数个公共点 a 记为 a 直线与平面 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a 记为 a A A 直线与平面 3 直线与平面平行 没有公共点 a 记为 a 直线与平面 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为 a a a a a A A 或 主要内容 直线与平面的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 直线在平面外 直线与平面 例1 下列命题中正确的个数是 1 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 2 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都平行3 如果两条平行直线中
10、的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行4 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 B 主要内容 直线与平面的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 直线在平面外 平面与平面之间的位置关系 2 1 4 平面与平面之间的位置关系 思考 1 拿出两本书 看作两个平面 上下 左右移动和翻转 它们之间的位置关系有几种 两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 两个平面平行或相交的画法及表示 m m 已知平面 直线a b 且 a b 则直线a与直线b具有怎样的位置关系 探究1 a b 答 平行或异面 探究2 相交于一条交线 三条交线 三条交线 如果三个平面两两相交 那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论 一个平面可以把空间分成几个部分 两个平面可以把空间分成几个部分 三个平面可以把空间分成几个部分 探究3 小结 平面与平面的位置关系平面与平面相交平面与平面平行
