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1、第三十讲 数列高考选择填空压轴题专题练A组一、选择题1若数列的通项公式分别为， ，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 可得 ，若 是偶数，不等式等价于 恒成立，可得 ，若 是奇数，不等式等价于 ，即 ，所以 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故选D2已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B.3等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题意可知且,
2、可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时, .选C.4已知数列是各项均不为0的正项数列， 为前项和，且满足， ，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得,整理得,数列是各项均不为0的正项数列, ,由,令可得， ,不等式即,当为偶数时， ， , ,当为奇数时， ， 单调递增， 取最小， ，综上可得，所以实数的最大值为.5各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 设等差数列的公差为，则当时， ，当时， ，联立方程组得，可得，所以，故选A.6已知函数，若数列满足，且是递增数列
3、，则实数的取值范围是A. (1,3) B. C. (2,3) D. 【答案】C【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C.二、填空题7已知数列的首项为，前项和为，且（且），.若，则使数列为等比数列的所有数对为_【答案】【解析】本题主要考査等比数列的应用.当时，由，解得.当时， ,，即.又,，即是首项为,公比为的等比数列，.若为等比数列，则有解得故满足条件的数对是.8已知函数，点O为坐标原点，点，向量，n是向量与的夹角，则使得 恒成立的实数t的取值范围为 _【答案】【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角，则：，据此可得： 结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.9若数列满足（， 为常数）
4、，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以， ，所以， ，当且仅当时等号成立，因此的最大值为10010若满足约束条件，等差数列满足， ，其前项为，则的最大值为_【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 ， ，所以公差 ， ，设 ，当直线过点 时，有最大值 ，即 最大值为，故答案为.11在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1，2进行 “扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；. 设第次“扩展”
5、后所得数列为，并记，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】.则 且 ,据此可得数列 是首项为 ，公比为3的等比数列，则 .12已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和_【答案】【解析】因为，故,取对数可得,故，故是以1为首项，2为公比的等比数列，故,故，则，因为，故两边取倒数可得,故数列的前项和13把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428.若aij2009，则i与j的和为_. 【答案】107【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列，偶数行为偶数列， ，所以为第个奇数，又前个奇数行内数的个
6、数的和为，前个奇数行内数的个数的和为，故在第个奇数行内，所以，因为第行的第一个数为，解得，即，所以.14已知数列满足，若，则的最大值为_【答案】【解析】由题意可得： ，即： ，整理可得： ，又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列， ，则： ,很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，则的最大值为.15数列满足，则数列的前100项和为_【答案】【解析】由于的周期为， ， ， ，于是得到；同理可求出， ，由此，数列的前100项和可以转化为以6为首项，8为公比的等差数列的前25项和，所以前100项和为 .B组一、选择题1设数列为等差数列， 为其前项和，若， ， ，则的最大值为（ ）A
7、. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】S410，S515a1+a2+a3+a410，a1+a2+a3+a4+a515a55，a33即：a1+4d5，a1+2d3两式相加得：2（a1+3d）8a44故答案是42设等差数列的前项和为，其中且则数列的前项和的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得,可得，又，可得， ， ，可知取最大值。选D.3已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，若，那矛盾，若，那么成立，若，那矛盾，所以 ，当，所以，即，数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以前项和为，故选D
8、.4斐波那契数列满足： .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于A,由图可知， ，可得 ，A正确；对于B, ,所以B正确；对于C, 时， ；C错误；对于D, ,D正确.故选C.5已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位： ）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充
9、分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位： ），下列关于数列的说法正确的是（ ）A. 当时，数列有最大值B. 设，则数列为递减数列C. 对任意的，始终有D. 对任意的，都有【答案】D【解析】当趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当时，显然，当 时，甲容器有剩余，显然，故D正确，A，B错误，对于C，可设，则，此时，C错误.6一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）.令表示第秒时机器
10、人所在位置的坐标，且记，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题中的规律可得： 以此类推得： 为正整数），因此 ，且 ， ，所以 ，故选C.二、 填空题7各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则_【答案】50【解析】由题意：.8已知数列的前项和为且，记，若对恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】 , 即 为首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， ，由 得 ，因为 或 时， 有最大值 ， ，即 的最小值为，故答案为 .9等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为_【答案】【解析】由题意可得，所以=，即，由=（）（）=，等号成立条件是。填【点睛】
11、本题由数列可得，要求的最小值，我们常用的方法是“1的妙用”，即在=（）（），再展开利用均值不等式可解。10已知数列满足， ，且，则数列的前项和取最大值时， _【答案】【解析】由题知当为奇数时， ，当为偶数时， 又，可得当时，有即，当时，有，即，当时，有，即由可得，由可得，则都是等差数列 则当时， 取最大值故本题填11在数列中， ，若平面向量与平行，则的通项公式为_【答案】【解析】因为 与平行，所以，整理为： ，两边同时除以 ，可得 ，设 ，那么 ，采用累加法， ，整理为 ，而 ，所以 ，那么 ，故填： .12已知数列中， ，数列满足： ，设为数列的前项和，当时有最小值，则的取值范围是_.【答案
12、】【解析】 由题意得，数列满足，则，所以，所以数列构成公差为的等差数列，所以，所以，因为当时， 取得最小值，所以，即 ，解得.13已知数列的前 项和为 ，且满足，设，若存在正整数，使得成等差数列，则_【答案】【解析】当时，得；当时，由和，得，即，则， ，若存在正整数，使得成等差数列，则，即，易知是方程的一组解，当时且时， ，即数列为递减数列，所以，即无正整数解，即存在唯一的，使得成等差数列，则.14设数列的前向和为，且 为等差数列，则的通项公式_【答案】【解析】令，由已知条件可知，又为等差数列，则，又，得，当时， ，可得，即，得是以为公比， 为首项的等比数列，可得，则， 也满足故本题应填15已
13、知数列的首项，其前项和为，且满足，若对， 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由得（），两式相减得： （），所以（），两式相减得： （），所以，数列是以2为公差的等差数列，数列是以2为公差的等差数列，将代入及可得，将代入（）可得，且，要使得， 恒成立，只需要即可，所以，解得： ，即实数的取值范围是C组一、选择题1已知正项数列的前项和为，且， ， 现有下列说法：；当为奇数时， ； .则上述说法正确的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，故，即；当时， ，故；当时， ，所以，即，又，所以，所以，所以当为奇数时， ； ， 所以；综上所述，都正确.选D.2已知函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，所以 ，从而 ，即，选B.3设是函数的导数， 是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心设，数列的通项公式为，则（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】解：由题意可得： ，由 可得： ，即题中的三次函数关于点 中心对称；结合数列的通项公式可知：
