《高考数学培优第30讲数列高考选择填空压轴题专练》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学培优第30讲数列高考选择填空压轴题专练(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第三十讲 数列高考选择填空压轴题专题练A组一、选择题1若数列的通项公式分别为, ,且,对任意恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 可得 ,若 是偶数,不等式等价于 恒成立,可得 ,若 是奇数,不等式等价于 ,即 ,所以 ,综上可得实数 的取值范围是 ,故选D2已知数列满足, ,若,则数列的通项( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , , ,则 ,数列是首项为2,公比为2的等比数列, ,利用叠加法, , ,则.选B.3等比数列的前项和(为常数),若恒成立,则实数的最大值是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题意可知且,
2、可得,化简为,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当n=1时, .选C.4已知数列是各项均不为0的正项数列, 为前项和,且满足, ,若不等式对任意的恒成立,求实数的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得,整理得,数列是各项均不为0的正项数列, ,由,令可得, ,不等式即,当为偶数时, , , ,当为奇数时, , 单调递增, 取最小, ,综上可得,所以实数的最大值为.5各项均为正数的等差数列中,前项和为,当时,有,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 设等差数列的公差为,则当时, ,当时, ,联立方程组得,可得,所以,故选A.6已知函数,若数列满足,且是递增数列
3、,则实数的取值范围是A. (1,3) B. C. (2,3) D. 【答案】C【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C.二、填空题7已知数列的首项为,前项和为,且(且),.若,则使数列为等比数列的所有数对为_【答案】【解析】本题主要考査等比数列的应用.当时,由,解得.当时, ,,即.又,,即是首项为,公比为的等比数列,.若为等比数列,则有解得故满足条件的数对是.8已知函数,点O为坐标原点,点,向量,n是向量与的夹角,则使得 恒成立的实数t的取值范围为 _【答案】【解析】根据题意得, 是直线OAn的倾斜角,则:,据此可得: 结合恒成立的结论可得实数t的取值范围为.9若数列满足(, 为常数)
4、,则称数列为“调和数列”,已知正项数列为“调和数列”,且,则的最大值是_【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”,所以,即数列是等差数列,所以, ,所以, ,当且仅当时等号成立,因此的最大值为10010若满足约束条件,等差数列满足, ,其前项为,则的最大值为_【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图,联立 ,解得 , ,所以公差 , ,设 ,当直线过点 时,有最大值 ,即 最大值为,故答案为.11在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”. 将数列1,2进行 “扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;. 设第次“扩展”
5、后所得数列为,并记,则数列的通项公式为_.【答案】【解析】.则 且 ,据此可得数列 是首项为 ,公比为3的等比数列,则 .12已知数列的首项为,且,若,则数列的前项和_【答案】【解析】因为,故,取对数可得,故,故是以1为首项,2为公比的等比数列,故,故,则,因为,故两边取倒数可得,故数列的前项和13把正整数按一定的规则排成了如下图所示的三角形数表设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a428.若aij2009,则i与j的和为_. 【答案】107【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数数列,偶数行为偶数列, ,所以为第个奇数,又前个奇数行内数的个
6、数的和为,前个奇数行内数的个数的和为,故在第个奇数行内,所以,因为第行的第一个数为,解得,即,所以.14已知数列满足,若,则的最大值为_【答案】【解析】由题意可得: ,即: ,整理可得: ,又 ,则数列 是首项为-10,公比为 的等比数列, ,则: ,很明显, 为偶数时可能取得最大值,由 可得: ,则的最大值为.15数列满足,则数列的前100项和为_【答案】【解析】由于的周期为, , , ,于是得到;同理可求出, ,由此,数列的前100项和可以转化为以6为首项,8为公比的等差数列的前25项和,所以前100项和为 .B组一、选择题1设数列为等差数列, 为其前项和,若, , ,则的最大值为( )A
7、. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】S410,S515a1+a2+a3+a410,a1+a2+a3+a4+a515a55,a33即:a1+4d5,a1+2d3两式相加得:2(a1+3d)8a44故答案是42设等差数列的前项和为,其中且则数列的前项和的最大值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得,可得,又,可得, , ,可知取最大值。选D.3已知递增数列对任意均满足,记 ,则数列的前项和等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为,所以,若,那矛盾,若,那么成立,若,那矛盾,所以 ,当,所以,即,数列是首项为2,公比为3的等比数列,所以前项和为,故选D
8、.4斐波那契数列满足: .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于A,由图可知, ,可得 ,A正确;对于B, ,所以B正确;对于C, 时, ;C错误;对于D, ,D正确.故选C.5已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为,其中装有体积为的水(:单位: ).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充
9、分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后,乙容器中含有纯酒精(单位: ),下列关于数列的说法正确的是( )A. 当时,数列有最大值B. 设,则数列为递减数列C. 对任意的,始终有D. 对任意的,都有【答案】D【解析】当趋于正无穷时,甲、乙两容器浓度应趋于相等,当时,显然,当 时,甲容器有剩余,显然,故D正确,A,B错误,对于C,可设,则,此时,C错误.6一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后再后退2步的规律移动,如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器
10、人所在位置的坐标,且记,则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题中的规律可得: 以此类推得: 为正整数),因此 ,且 , ,所以 ,故选C.二、 填空题7各项均为正数的等差数列中,前项和为,当时,有,则_【答案】50【解析】由题意:.8已知数列的前项和为且,记,若对恒成立,则的最小值为_【答案】【解析】 , 即 为首项为 ,公差为 的等差数列, , , ,由 得 ,因为 或 时, 有最大值 , ,即 的最小值为,故答案为 .9等比数列的首项为2,公比为3,前项的和为,若的最小值为_【答案】【解析】由题意可得,所以=,即,由=()()=,等号成立条件是。填【点睛】
11、本题由数列可得,要求的最小值,我们常用的方法是“1的妙用”,即在=()(),再展开利用均值不等式可解。10已知数列满足, ,且,则数列的前项和取最大值时, _【答案】【解析】由题知当为奇数时, ,当为偶数时, 又,可得当时,有即,当时,有,即,当时,有,即由可得,由可得,则都是等差数列 则当时, 取最大值故本题填11在数列中, ,若平面向量与平行,则的通项公式为_【答案】【解析】因为 与平行,所以,整理为: ,两边同时除以 ,可得 ,设 ,那么 ,采用累加法, ,整理为 ,而 ,所以 ,那么 ,故填: .12已知数列中, ,数列满足: ,设为数列的前项和,当时有最小值,则的取值范围是_.【答案
12、】【解析】 由题意得,数列满足,则,所以,所以数列构成公差为的等差数列,所以,所以,因为当时, 取得最小值,所以,即 ,解得.13已知数列的前 项和为 ,且满足,设,若存在正整数,使得成等差数列,则_【答案】【解析】当时,得;当时,由和,得,即,则, ,若存在正整数,使得成等差数列,则,即,易知是方程的一组解,当时且时, ,即数列为递减数列,所以,即无正整数解,即存在唯一的,使得成等差数列,则.14设数列的前向和为,且 为等差数列,则的通项公式_【答案】【解析】令,由已知条件可知,又为等差数列,则,又,得,当时, ,可得,即,得是以为公比, 为首项的等比数列,可得,则, 也满足故本题应填15已
13、知数列的首项,其前项和为,且满足,若对, 恒成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由得(),两式相减得: (),所以(),两式相减得: (),所以,数列是以2为公差的等差数列,数列是以2为公差的等差数列,将代入及可得,将代入()可得,且,要使得, 恒成立,只需要即可,所以,解得: ,即实数的取值范围是C组一、选择题1已知正项数列的前项和为,且, , 现有下列说法:;当为奇数时, ; .则上述说法正确的个数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为,故,即;当时, ,故;当时, ,所以,即,又,所以,所以,所以当为奇数时, ; , 所以;综上所述,都正确.选D.2已知函数的图象过点,令(),记数列的前项和为,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ,所以 ,从而 ,即,选B.3设是函数的导数, 是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”已知:任何三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心设,数列的通项公式为,则( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】解:由题意可得: ,由 可得: ,即题中的三次函数关于点 中心对称;结合数列的通项公式可知: