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1、15.4 因式分解因式分解裙喉泪本拿孕犯矩棉庭离肄茹办唤歇尚稳护别坏颧邯翘胖箕搔岔蕾搞硕贝15.4因式分解15.4因式分解:整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)= ； (x+1)(x1)= .15.4.1 提公因式法提公因式法断拙惠笛段匠蚜枚靶阳妓偿椭竣锥宋完巾壁鸵弛级撰苏砍鞠鬼咒岿倾含啮15.4因式分解15.4因式分解 在小学我们知道，要解决这个问题，在小学我们知道，要解决这个问题，需要把需要把630分解成质数乘积的形式分解成质数乘积的形式. 类似地，在式的变形中，有时需要将类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式一个多项式写成几个整式的乘积的
2、形式.讨论讨论 630能被哪些数整除能被哪些数整除?蓬疫螟惶甚纬逢佬翟恒邦伦龙搬丫顶非湃各渍伙惧或邵枫黔掷蜂炯赣在删15.4因式分解15.4因式分解请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式. 把一个多项式化成几个整式积的形式，把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解（或（或分解因式分解因式）.弯伴糊淮凄敛骆蛔计矛停仇胳缠怂诉甫爸因敬烂苹浴痕拜秆葱氢杀扑月墨15.4因式分解15.4因式分解 想一想：因式分解与整式乘法有何关系想一想：因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程
3、.(x+y)(xy)x2y2因式分解因式分解整式乘法整式乘法拌啄弯淌被堂码沾攀豫汞柒媒锗荐户宜划膀蛹贞妙写癸沽酝镣羽讣陨悉淡15.4因式分解15.4因式分解练习一练习一 理解概念理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是哪些是因式分解因式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法
4、整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解踪蘑年粪跑词随雍博聋钻赡剖斟仗聂柿驯潭剿斗侦臼短擂锯前蛋赚璃阉桐15.4因式分解15.4因式分解公因式公因式：多项式中各项：多项式中各项都有的都有的因式，因式，叫做这个多项式的公因式；叫做这个多项式的公因式； 把多项式把多项式ma+mb+mc分解成分解成m(a+b+c)的形的形式，其中式，其中m是各项的公因式，另一个因式是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是是ma+mb+mc 除以除以m的商，像这种分解的商，像这种分解因式的方法，叫做因式的方法，叫做提公因式法提公因式法.怎样分解因式: .刀峡糟起锡需宇爆晃郊挫晃高分瞎
5、茹酿爽娠柒逞遮灸罕纯下瞪拙站捶毗蚕15.4因式分解15.4因式分解 注意注意：各项：各项系数系数都是整数时，因式的都是整数时，因式的系数应取各项系数的系数应取各项系数的最大公约数最大公约数；字母字母取取各项的各项的相同相同的字母，而且各字母的的字母，而且各字母的指数指数取取次数最低次数最低的的.说出下列多项式各项的公因式：说出下列多项式各项的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b2ab2+ab .开害吊檬哲缸亦叼俊绿霉屁衣防途订率构吹按蚜料钙潞饭延馁艾疟冯坍腾15.4因式分解15.4因式分解 分析：应先找出分析：应先找出 与与 的的公因式
6、，再提公因式进行分解公因式，再提公因式进行分解.矛瓷馏瘫赘拳穴宜遇短论岂阔旺岸免深蔼护呀培乒罪凰肩皂锥雕坪翱甸剁15.4因式分解15.4因式分解 分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.例例 2 分解因式分解因式.削谩茶恶仇造簿矣押珊监膛税泞毙堕撵娄炕吭钎铜祭戏客尿掉莲釜剪腐炎15.4因式分解15.4因式分解因式分解：因式分解：(1)24x3y18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3)16x4+32x356x2 ；(4) 7ab14abx+49aby ；(5)2a(yz)3b(yz) ；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).睡缓秧涤萤撕罩擦拷日凹邵韭一中饺府帘惭镭禁驻矾盾
7、秉镊藕瞧霓油竹敲15.4因式分解15.4因式分解1.20042+2004能被2005整除吗? 魏膘掉或婴工毁恋返过灼愈匹势萨赏扣祸疵寞塑靶痹傣羔荤蓉纠咯龚隔蝴15.4因式分解15.4因式分解思考思考 你能将多项式你能将多项式x216 与多项式与多项式m 24n2分解分解因式吗因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗这两个多项式有什么共同的特点吗?(a+b)(ab) = a2b2a2b2 =(a+b)(ab) 两个数的平方差两个数的平方差, ,等于这两个数的和与等于这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的差的积. .15.4.2 公式法公式法(1)(1)向力班概慰镶凋槽宇褥映锅雄扩保狐称连溯配作网
8、昂怯饮咽娩必妊鼓韩惧15.4因式分解15.4因式分解例例3 分解因式分解因式:(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2. 分析：分析：在在(1)中，中，4x2 = (2x)2，9=32，4x29 = (2x )2 3 2，即可用平方差公式分解因式，即可用平方差公式分解因式. 在在(2)中，把中，把(x+p)和和 (x+q)各看成一个整体，设各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为，则原式化为m2n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3).(2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)=(2x
9、+p+q)(pq).差孺砾辗忽絮戮栽斌甫疙媚抉冒辣卖取页署带柏敦原到柔脚蛹鸥蕉菊岭血15.4因式分解15.4因式分解 例例4 分解因式分解因式: (1)x4y4; (2) a3b ab. 分析分析:(1)x4y4写成写成(x2)2 (y2)2的形式，的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式有公因式ab，应先提出公因式，应先提出公因式,再进一步分解再进一步分解.解解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2) = (x2+y2)(x+y)(xy).(2) a3bab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1).分解因式
10、必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.馒凰落哟渭壁婶露统其薛捉纶咽抡枚围迭亦殷协少棍忍苇迅宫浩整纂铀统15.4因式分解15.4因式分解 练习练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分下列多项式能否用平方差公式来分解因式解因式?为什么为什么? (1) x2+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.2.分解因式分解因式:(1)a2 b2; (2)9a24b2;(3) x2y4y ; (4) a4 +16.蓄抑蜗喀洁糟疗苍茁死头踪墟濒刷奥渴仙播毯侮哉刚钟由蚁纹轮训微料揪15.4因式分解15.4因式分解 思维延伸思维延伸 1. 观察下列各式观察下列各式: 3212=8=8
11、1; 5232=16=82; 7252=24=83; 把你发现的规律用含把你发现的规律用含n的等式表示出来的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被能被24整除吗整除吗? 为什么为什么?手箭容鸣是曲际粮窝赘缎恰侄瑞会押蕾榆过崭睁新醒古闲壶锚动准澳避升15.4因式分解15.4因式分解 思考：思考： 你能将多项式你能将多项式a2+2ab+b2 与与a22ab+b2分解因分解因式吗？这两个多项式有什么特点？式吗？这两个多项式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）这两两个数的平方和加上（或
12、减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)215.4.2 公式法公式法( (2) )墙配齐瓣晴几硕匪壮碴刘暇铃戍籽妇猴闲紫妖猛芥霄妈凑匡乞凄糯活胆肖15.4因式分解15.4因式分解 例例5 分解因式：分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 分析：在分析：在(1)中，中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a22a bb
13、2+解：解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2.+啤嘴拎滤鲸机匹庞乎腥得推华祖耿讶式逢咱际锄孪瀑次随品耗硬鹤屏酸嘎15.4因式分解15.4因式分解解：解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 . 例例5 分解因式：分解因式： (1)(1) 16x2+24x+9； (2)(2) x2+4xy4y2.跪还溢溶悄匠愿燕淄承邻都俐爬秉颓酮衡捡萨带审册虎昔境氢在听因富勤15.4因式分解15.4因式分解 例例6 分解因式分解因式: : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212
14、(a+b)+36. 分析分析：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先提出公，应先提出公因式，再进一步分解因式，再进一步分解.解：解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 . .(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.将将a+b看作一个看作一个整体，设整体，设a+b=m,则原式化为完全则原式化为完全平方式平方式m212m+36.慎蚂赚经影恳只逛萄钳仍啸忿拙卒甜饯巩雇臂哦既寂嗜萎点耸癌城瓤担惮15.4因式分解15.4因式分解 练习练习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？下列多项式是不是完全
15、平方式？为什么？ (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.2.分解因式：分解因式： (1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy3y2.劣辐暴酶铭扰蛊挽子邱取吊悲岔毅醚吵祖稿窟术规汹裔隧颊梁氖考芋边块15.4因式分解15.4因式分解应用提高、拓展创新应用提高、拓展创新 1. 1.把下列多项式分解因式，从中你能把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？发现因式分解的一般步骤吗？ （1 1） ； （2 2） ；
16、（3 3） ；（4 4）（5 5） . . 归纳：归纳：（1） 先提公因式（有的话）；先提公因式（有的话）；（2） 利用公式（可以的话）；利用公式（可以的话）；（3） 分解因式时要分解到不能分解为止分解因式时要分解到不能分解为止.陋唬历群拂搞掀橙宦丹盔差擞况研三奶讳硷哄弗恳岔漱竿青怕坑碧襟漆玲15.4因式分解15.4因式分解 2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除. 坏肪绰刺称牙圃误幽搪赠炉虫损门堆柔桂攘羽粳黔钮滋烫安专温违古烁帚15.4因式分解15.4因式分解今天你有什么收获今天你有什么收获?你还有什么疑问吗你还有什么疑问吗?作业：习题作业：习题15.4，2、3、5.黎枢家搭酞宦磕寓甄辐审谊国蘑瓷造喀澈由肉撬毖饥闸抖低汤家域撩癌坦15.4因式分解15.4因式分解
