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1、-第一讲 欧氏几何学的发展简史及其重建一、欧氏几何学的简史几何学的研究始于埃及。这是公元前5世纪希腊历史学家希罗多德（Herodotus）的看法，他认为几何学源自于社会生产的需要。每年雨季到来时，尼罗河泛滥，都要淹没尼罗河流域肥沃的土地，有时会摧毁边界的标记，有时则会改道而冲走许多块土地。由于人们按照耕地的多少来征收农业税，所以为了恢复地界和确定税金，洪水过后需要重新丈量土地。发明快速、精确的方法来丈量耕地显得是埃及人发展几何学的动力。为了满足这些简单的需求，埃及人很快就发展了简单的度量几何学，这部分几何学主要包括他们在测量中所涉及的方法和概念。这些早期的应用数学家的主要工具之一是可以围成三角
2、形的绳子。事实上，这些早期的测量员（数学家）被称为“司绳”，其中蕴含的想法十分简单。假设一条绳子被等分成（可能用绳结来分）12段。当它围成三角形时，如果一条边长三个单位，另一条边长四个单位、最后一条边长五个单位，那么就构成了一个直角三角形。这条绳子围成的直角三角形的角可以用来做简单的角度测量，绳子本身也是长度测量的一个方便工具。很明显，简单的结绳方法是埃及人进行快速、精确的测量所必需的，他们所应用的这些方法对邻近的希腊人产生了重大的影响。埃及人对几何的兴趣没有超越实际生活的需要，他们发明了公式来计算某些简单的面积和体积，其中有些公式精确一些，有些并没有那么精确，但是对于实际应用来说，一个好的近
3、似公式与一个精确的公式一样适用，埃及人一般不区分这两类公式。现在对埃及人的数学知识的最详细的了解来源于阿梅斯纸草书和莫斯科纸草书。在研究三维图形时，埃及人对金字塔的几何性质很感兴趣，例如知道金字塔的地面边长和它的高度，就可以计算出金字塔的体积。这样体积就跟可以长度测量的边长和高度联系起来了，而长度测量往往比体积测量容易得多。埃及人还讨论了金字塔的其他数学性质，如，已知底面边长和高度，就知道如何计算一个刻画金字塔侧面险峻程度的数值（其实是计算斜面的坡度）。起初，埃及的数学发展十分迅速，埃及人在早期研究了大量的二维和三维的问题，然而它不久便停滞不前了，而且在之后的两千多年的时间里没有太大的改变。肥
4、沃的尼罗河谷，一直被描述为世界最大沙漠中的最大绿洲，被一条最绅士派头的河流所灌溉，地理上的天然屏障保护着一片辽阔区域免遭外人入侵，对那些在很大程度上追求平静安宁、与世无争的生活方式的爱好和平的人民来说，这里就是天堂。对仁慈神诋的爱，对传统的尊重，以及对死亡的专注和死者的需要，这一切助长了这种高度的停滞。要想看到更进步的数学成就，你必须把目光转向那片更加动荡不宁的江河流域，人们把这里称作美索不达米亚。美索不达米亚位于现在的伊拉克境内，距离埃及约1000英里（1600千米）。它的建筑物不如埃及的著名，那是因为埃及人的坚实的建筑物是用石头建造的，而美索不达米亚人的建筑物是用不耐久的泥砖建成。然而美索
5、不达米亚的数学却比埃及的出名，因为他们用来记录数学知识的泥板比埃及的纸草书保存得要持久得多。有关埃及的数学原始著作仅有极少数幸存下来，而美索不达米亚却有成百上千块数学泥板文书被发现和翻译。不管是埃及数学家还是美索不达米亚数学家对代数学的喜好程度胜于几何学，甚至他们的几何问题也常常带有代数的色彩。与埃及人相比，美索不达米亚人对于数及计算方法有着更为深刻的理解，所以他们发明了远比同期埃及人更为精确的近似解法，特别是在代数学方面和某些几何问题上，他们得到较为先进的结果。例如，埃及人显然没有意识到毕达哥拉斯定理的一般情形，而美索不达米亚不但在毕达哥拉斯出生前好几个世纪就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）
6、且能深刻理解这个定理，他们解决许多与之相关的问题，其中一些问题对于当今受过还好教育的人来说也是一种挑战。跟埃及人一样，美索不达米亚人通常对精确解和一个良好的近似解不加区分，而且美索不达米亚数学家对证明他们得到的结果不太感兴趣，他们对从整体上建立一套严格方法来研究几何学不感兴趣。埃及和美索不达米亚的数学家们主要对发展实用的几何学感兴趣，他们寻求数学公式，并用他们来计算某些已知长度的特殊几何形状的面积和体积。这两地的数学家都寻求数值解来解决计算问题，他们研究的内容是求积几何学，其工作中没有中心思想，也没有发明一套理论系统来编排自己发现的公式。这些工作是在特定时期内解决特定问题的数学，在通常意义上不
7、能称之为数学。一般来讲，对几何学感兴趣的现代数学家们关心的是：从一般原理演绎出更广泛的类型的几何对象的性质。然而这种“现代”的方法其实一点都不现代，它可以追溯到古代所有具有“现代意韵的”文化中最早的数学文化。这就是希腊的数学文化。埃及人和美索不达米亚人研究几何学的方法，带着具有数学传统的古代文化所共有的特征，但希腊文化除外。希腊的数学方法从一开始就与众不同，它更重视抽象而轻视计算。希腊数学家们研究了许多类几何对象的性质，他们关注的不仅是他们知道什么，而且关注他们如何知道。希腊哲学家和米利都的数学家泰勒斯（Thales of Miletus约公元前650年前546年）的工作最能体现这种风格了。对
8、于几何学的历史来讲，不仅“泰勒斯知道什么”是重要的，“他如何知道了那些知识”也是重要的。证明“直径平分圆”这一定理人们一致将此定理归功于泰勒斯。一条直径将圆分成相等的部分，这是一个了不起的结果，不是因为它让人感到出乎意料，而是它太显然了。埃及和美索不达米亚的数学家从未怀疑过这个事实，而且几乎可以肯定地说，泰勒斯也没有提出过质疑，然而他觉得有必要演绎出这个结果，即证明这个命题的真实性。这是思考数学的新思路：不再强调直觉而是强调演绎推理的重要性。演绎推理，即从一般原理到特殊情形的推理过程，是数学与众不同的特征。数学是一门演绎性科学。现在，所有数学家都是从已知原理出发开始研究，然后推导出新的事实作为
9、那些原理的逻辑推论，但泰勒斯是严格运用此方法的第一人。传说古希腊第二个重要的数学家是泰勒斯的学生萨摩斯的毕达哥拉斯（Pythagoras）。与泰勒斯不同，他不是商人而是神秘主义者，和几何相比，他对数更感兴趣，他的兴趣源于宗教信仰以及对数学的深信不疑。和泰勒斯一样，毕达哥拉斯年轻时游历广泛。到他最终定居下来时，他成了一位被人们崇拜的人物。在追随者的簇拥下，毕达哥拉斯建立了带有神秘色彩的组织，成员们共享财产，而且任何数学发现都不能冠以个人名义。因而，我们无法知道哪些成果是毕达哥拉斯发现的，又有哪些成果是其追随者首先发现的。我们在前面已经提到：早在毕达哥拉斯出生一千多年以前，美索不达米亚人已经知道并
10、且广泛使用这个冠以他名字的定理了。有人说是他首先证明这个定理，这也是有可能的，但没有找到证据支持这说法。然而，不管怎么样，他在数学史上有着重要的地位。毕达哥拉斯对数学和哲学的影响是深远的。毕达哥拉斯学派最重要的发现和数与数的比有关。“万物皆数”是这个学派的信条，他们认为宇宙万物都可以仅用正整数及其比来描述。从数学史上来看，无理数是毕达哥拉斯学派最重要的发现之一。无理数是指不能表示为两个整数之比的数，这一发现推翻了毕达哥拉斯学派所坚持的一切事物都可以用整数之比来表示的信条，据说他们曾经试图保守这个秘密。人们也通常把后面称为“黄金分割”的发现归功于毕达哥拉斯学派。黄金分割是一个特殊的比，希腊人用两
11、条线段的比来表示。他们的五角星会徽里含有“黄金比例”。虽然毕氏学派发现了“黄金分割”，但是他们并不占为己有，希腊的建筑师们将“黄金分割”纳入到他们设计的建筑中，希腊艺术所用的诸多比例中也出现过“黄金分割”，自然界之中同样也遍及“黄金比例”。在过去几千年历史中，人们发现了很多有关这个比例的奇怪性质，这些性质的发现对于相信“数是自然界的基石”的毕达哥拉斯学派来说影响深远。雅典是希腊的首都，帕提农神庙也坐落在这里，帕提农神庙（古希腊文：），是古希腊雅典娜女神的神庙，兴建于公元前5世纪的雅典卫城。它是现存至今最重要的古典希腊时代建筑物，一般被认为是多立克柱式发展的顶端；雕像装饰是古希腊艺术的顶点，此外
12、还被尊为古希腊与雅典民主制度的象征，是举世闻名的文化遗产之一。帕提农神庙的正立面的各种比例尺度一直被作为古典建筑的典范，柱式比例和谐，视觉校正技术运用纯熟，山花雕刻丰富华美。整个建筑既庄严肃穆又不失精美。被美术史家称为“人类文化的最高表征”，“世界美术的王冠”。虽然雅典不是许多数学家的故乡，只是少数数学家生活在那里，如欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408年-前355年）曾在雅典生活一段时间，但是这个地方好像是古希腊三大著名几何问题的诞生地。第一个是倍立方体问题，它最初开始于一场可怕的天灾。公元前430年左右，雅典居民大量死去，绝望中的人们到当时居住在提洛岛（Delos）的在希腊世界享有盛
13、誉的神谕（在古希腊宗教中，神谕是一位祭司或女祭司，人民通过他们询问神祇问题并得到解答。神谕可用来解梦、指引人们行动或是解释奉献的动物中的脏器所代表的意义，在希腊，雅典神话中，神谕被认为是神所下达的律令，在不同的领域中，神依靠神谕，制定自己的规则，诸规则完美契合，使世界秩序向前，而诸神的领域也往往会有冲突，这就是诸神之争的内在。诸神的信徒与神并不是直接的沟通，而是通过至高无上的神，以下达神谕的方式，给予信徒以指引。）那里去寻找帮助。神谕建议他们修建一个比庙里现有的祭坛大一倍的立方体新祭坛献给太阳神阿波罗。他们按照忠告，建造了一个边长为原立方体边长的两倍，这样一来，新立方体祭坛的体积就为原来8倍。
14、从这不幸的事件中产生了古希腊三大著名几何问题之一：给定一个立方体，用无刻度的直尺和圆规做一条线段，使得它为边的立方体是原给定立方体的体积的两倍。大约在同一时期，在雅典又有另外两个问题提了出来。一个是关于将任意角三等分的：给定任意一个角，仅用无刻度直尺和圆规将其三等分。另一个问题对我们的语言都产生了影响，你或许听到人们谈论某些事情不可能完成时会说“化圆为方”。这个短语概述了第三个著名问题：给定一个圆，仅用无刻度直尺和圆规作一个正方形，使之与给定圆有相同的面积。两千多年来，这三个问题一直吸引着数学家们的注意力。但是它们从来没有从几何学上获得解决，因为仅用无刻度直尺和圆规是不可能解决的。这跟“解法还
15、没有找到”是完全不同的，这里找不到解法是因为它不存在。人们通过使用19世纪发展起来的一种新型的、强有力的代数发现了这个惊人的事实。雅典除了著名的三大几何问题的发源地之外，还是众多哲学家的故乡，例如苏格拉底是雅典人，但他对数学没有太多贡献。苏格拉底的学生柏拉图热爱数学，他显然从毕达哥拉斯学派那里学到了数学知识。后来柏拉图在雅典建立了自己的学派，并鼓励自己的弟子学习数学，学园的门口写着“不懂几何者，不得入内”。柏拉图称不上数学家，但是他其中的一个学生-欧多克索斯，成为同代人中第一流的数学家。在几何方面，欧多克索斯发明了现在称为穷竭法的方法，它是对数学的深刻理解，在数学之外也有很多运用。希腊人用他的
16、方法解决很多前人不能解决的问题。比如，化解了毕达哥拉斯学派发现的不可通约量引起的第一次数学危机、求圆和椭圆的面积等，穷竭法对应于希腊数学里的极限思想，它是两千多年后所创立的微积分学中蕴含的主要思想。穷竭法对希腊数学后续的发展是极其深远的。亚里士多德像欧多克索斯一样，也是柏拉图的学生。他是古往今来学识最渊博的学者，是一位哲学家和生物学家，但他十分熟悉数学家的活动。亚里士多德还是亚历山大大帝的老师。他可能在当时一场主要论战中担任了一个角色，因为有一篇论文论不可分线被归到他名下。这部著作的主题是：柏拉图学园掌门人色诺克拉底所支持的不可分线的学说是站不住脚的。长度、面积或体积不可分（或固定的无穷小值）让很多时代的人们神魂颠倒；色诺克拉底认为，这一概念会解决一些让数学和哲学思想饱受折磨的悖论，比如芝诺悖论。亚里士多德也给芝诺悖论极大的关注，但他试图在常识的基础上驳倒它们。亚里士多德对数学的发展做出了贡献，他对算术和几何中潜在的和实际的无穷量的讨论，影响了很多后来
