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1、-生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。 -无名汽车保险论文关于汽车保险论文基于时变假设的修正负二项车险索赔频率精算模型【摘要】传统车险索赔频率模型都采用风险水平在保险期间保持不变的假设,采用风险水平时变假设,选择Weibull过程作为风险强度函数,引入传统的负二项索赔频率模型。新模型修改原有频域方法为时域参数方法进行参数估计,并使用极大似然估计结合贝叶斯估计的方法估计出Weibull过程的水平参数和形状参数。在=1时,新模型就等价于传统负二项模型;此外,新模型可为风险上升(1)和风
2、险下降(0(3)对于的保单,其在一个保单年度内发生的k的概率为P(k |) =kk!e-k =0,1,2,(4)根据全概率公式,可得P(k) =0P(k |)f()d=Cka+k-1bb+1a1b+1kk =0,1,2,(5)即索赔次数服从参数为(a,b/(b+1)的负二项分布。因此,该索赔频率模型通常被叫作负二项模型。1.3负二项模型的贝叶斯估计观测有n个保单年度历史经验数据的保单,保单在各保险年度的索赔次数为k1,k2,kn,风险强度为时,其条件联合概率密度函数为P(k1,k2,kn|) =ni=1kini=1(ki!)e-n(6)由全概率公式,非条件联合密度函数为P(k1,k2,kn)=
3、0P(k1,k2,kn|)f()d=a+ni=1kibani=1ki!(a)(b+n)a+ni=1ki(7)的后验概率密度为f(| k1,k2,kn) =P(k1,k2,kn|)f()P(k1,k2,kn)=(b+n)a+ni=1ki(a+ni=1ki)a+ni=1ki-1e-(b+n)(8)即参数为(a+ki,b+n)的Gamma分布。选择平方损失函数,则的贝叶斯后验估计为=a+ni=1kib+n(9) 2时变假设下索赔次数的计数过程2.1汽车风险的浴盆曲线汽车风险的研究实践表明,浴盆曲线能良好地表征汽车故障风险和驾驶员事故率风险随时间变化的规律13-14。曲线段、和分别代表了早期事故期、偶
4、然事故期、严重事故期3个阶段。显然,汽车事故风险浴盆曲线符合年轻驾驶员事故率高,中年人事故率最低,老年驾驶员事故率上升的客观规律,也证明了车险保单的风险水平是随时间而变化的,其未来保单风险存在改善或者恶化趋势。因此,从汽车保单的索赔频率角度来看,其风险强度水平不应是保持不变的水平直线,而是在时间上变化的浴盆曲线(t)。2.2非齐次泊松索赔频率过程汽车保险期间,保单的索赔次数就是一个计数过程。由于汽车事故风险水平会随时间而变化,可以用(t)表征保单在保险时间t上索赔风险发生的强度水平。因此,汽车保险的索赔次数过程可以表示为非齐次泊松过程。N(t)表示在保险时间区间(0, t内出现的索赔次数,且N
5、(0)=0。索赔次数过程满足以下条件:N(t), t0是独立增量过程PN(t+h)-N(t)=1=(t)h+o(h)PN(t+h)-N(t)2=o(h)显然,索赔次数过程N(t)为具有(t)的非齐次泊松过程(NHPP)15。对于(t),其积分(t) =t0(u)du (10)称为累积强度函数。并记(t,s) =ts(u)du (11)为区间(s, t上的累积强度函数。根据非齐次泊松过程性质,具有(t)的保单,在(s, t内发生索赔次数的概率分布为PN(t)-N(s) = k =(t,s)k!e-(t,s)(12)2.3Weibull过程下的索赔频率模型当非齐次泊松索赔过程的(t)为(t) =t
6、-1t0,0,0(13)则称此随机计数过程为Weibull(威布尔)过程,其累积强度函数(t)=t16。为Weibull过程的强度(水平)参数,为形状参数。选择不同的,(t)。当1时,(t)是时间的增函数,适合描述风险浴盆曲线的段,即严重事故期;=1时,风险强度等于,即不随时间变化的水平直线,符合浴盆曲线的段的偶然事故期,和传统齐次泊松过程索赔频率模型的假设相同。因此,基于Weibull过程的索赔频率模型能很好地分段描述汽车风险浴盆曲线的各个风险期,尤其是传统模型不能区分的风险下降(段)和上升阶段(段)。在确定Weibull过程的和后,在保险期间(s, t内发生索赔次数的概率分布为PN(t)-
7、N(s) = k =(t-s)kk!e-(t-s)(14)3Weibull过程参数估计方法3.1无先验分布信息下的时域参数估计方法假定车险保单的索赔次数服从Weibull过程, 并且和没有先验分布信息。对于一个有n个保单年度的历史经验数据的保单,k为n个保单年度内发生索赔的总次数,令ti为第i次索赔发生的时间(i=1,2, k)。根据非齐次泊松过程的定义和性质,在时间点ti发生索赔的概率为(ti);而在(ti,ti+1)时间区间上没有发生索赔,估计式(12)其概率为PN(ti+1)-N(ti) =0 =e-(ti+1,ti)(15)由于N(ti)是独立的增量过程,因此,保单的各次索赔的发生时间
8、t1,t2,tk的联合概率密度函数为f(t1,t2,tk) =e-(t1,0)(t1)e-(t2,t1)(t2)e-(t3,t2)(tk)e-(n,tk)=ki=1(ti)e-(n)(16)将Weibull过程(t)代入式(16)的联合概率密度函数,可得f(t1,t2,tk) =ki=1(ti)-1e-(n)=kkki=1ti-1e-n(17)构造似然函数L(,),L(,) =lnf(t1,t2,tk) = kln+kln+(-1)ki=1lnti-n(18)对似然函数求偏导数 L(,) =k-n=0 L(,) =k+ki=1lnti-lnnn=0(19)解上述方程组可以得到=kn=kklnn
9、-ki=1lnti=kki=1lnnti(20)即=kki=1lnnti,= kn(21)从式(20)可以看到,即便是在相同保险期间内同样有k次索赔的保单,只要k次索赔的发生时间分布不同,其风险强度和形状参数可能不尽相同(即(t)不同)。3.2风险强度参数先验分布为Gamma分布下的Weibull过程参数估计假定各保单在初次向保险公司投保车险时(即t=0时刻),其(=(t=0)由于保单的个体差异,服从式(3)中的Gamma(a,b)分布,即采用和传统负二项模型相同的强度参数假设。那么,对于已知风险强度参数为的个体保单,其各索赔发生时间的条件联合密度函数为f(t1,t2,tk|) =kkki=1ti-1e-n(22)非条件联合密度函数为f(t1,t2,tk) =0kkki=1ti-1e-nba(a)a-1e-bd(23)根据贝叶斯估计公式,的后验概率密度为f(| t1,t2,tk) =f(t1,t2,tk|)f()P(t1,t2,tk)=(b+n)a+k(a+k)a+k-1e-(b+n)d(24)同样选择平方损失函数,则的后验估计为=a+kb+n,k =ni=1ki(25)由于没有先验分布信息,因此,采用式(21)中极大似然估计法进行参数估计。得到=kki=1lnnti,=
