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1、Jeffrey Huang Jeffrey Huang 第七讲第七讲 基于基于Monte Carlo模拟法的模拟法的VaR计算计算 Jeffrey Huang 1 VaR的计算方法的计算方法 P分布的确定方法分布的确定方法 收益率映射估值法收益率映射估值法风险因子映射估值法风险因子映射估值法 风险因子映射估值模拟法风险因子映射估值模拟法 全部估值法 全部估值法 风险因子映射估值分析法风险因子映射估值分析法 局部估值法 局部估值法 历史模拟法历史模拟法Monte Carlo模拟法模拟法 基于基于Delta Gamma等等 灵敏度指标的方法灵敏度指标的方法 Jeffrey Huang 2 Mont
2、e Carlo模拟法与历史模拟法的不同模拟法与历史模拟法的不同 历史模拟法实质上是利用风险因子的历史数据序列模拟出资产组合的 未来损益分布 进而得到给定置信度下的VaR Monte Carlo模拟法不再借助于风险因子的历史数据 而是通过选择或 建立适当的随机模型模拟风险因子的未来变化路径 并利用估值公式 计算出对应路径的资产组合价值 不断重复上述模拟过程 最大限度 地获得风险因子的未来变化路径及其对应的资产组合价值在未来的可 能取值 以期更加准确地描绘出资产组合的未来损益分布 进而求得 VaR Jeffrey Huang Jeffrey Huang 一 一 Monte Carlo模拟法模拟法
3、Jeffrey Huang 4 随机抽样统计分析法与随机抽样统计分析法与Monte Carlo模拟法模拟法 随机抽样统计分析法的基本特点是对实际数据进行抽样分析 Motne Carlo模拟法是从计算机随机模拟出的而非实际存在的数据进行抽 样 统计 又称随机模拟方法 尽管抽样的数据来源不同 但采用Monte Carlo模拟法与随机抽样统计分 析法的重复抽样的原理相同 所以人们在很多情况下并不对两者加以区 分 而常常把这种一次又一次不断重复的随机抽样方法 统称为Monte Carlo模拟法 Monte Carlo模拟法可以同时用于求解确定性问题和随机性问题 Jeffrey Huang 5 确定性问
4、题确定性问题 确定性问题 指对那些已经存在的事实或现象进行研究的问题 这类问题往往很难直接求解 而借助于Monte Carlo模拟法对已经存在的 事实或现象进行模拟 观测 求解 首先 针对所要研究的确定性问题中已经存在的事实或现象 建立一个 概率模型或随机过程 使模型或过程的参数等于问题的解 然后 通过对模型或过程的反复观察或抽样试验来计算所求参数的统计 特征 最后 输出所求解的近似值 并估计解的精度 Jeffrey Huang 6 随机性问题随机性问题 随机性问题 指你要研究的问题中含有还未发生的随机性成分 这类问题一般须借助于随机数来对一些还没有发生的随机现象进行模拟 最后的求解结果也常常
5、是对拟要研究的随机问题的未来变化分布的预 测 首先 针对待求解问题中的随机现象建立相应的随机模型 然后 对随机模型中的随机变量确定抽样方法 再通过计算机的模拟实 验产生所需要的随机数 得到模型中随机变量的有关特征数字 最后 根据随机模型所确定的解和相关随机变量的某些特征数字之间的 函数关系 计算出所求问题的近似解 Jeffrey Huang 7 用用Monte Carlo模拟法计算模拟法计算VaR 用Monte Carlo模拟法计算VaR 几乎都是随机性问题 用Monte Carlo模拟法计算VaR 是否成功取决于以下三个要素 第一 用以模拟随机变量未来变化路径的随机模型的准确性 第二 每次模
6、拟的独立性 时间区间分割数 n 第三 足够多的模拟次数 模拟次数 N Jeffrey Huang Jeffrey Huang 二 单变量资产价格的随机二 单变量资产价格的随机 模拟模拟 Jeffrey Huang 9 It 过程过程 It 过程 即随机变量 St t 0遵循 其中 是一个均值为0 方差为1的正态随机变量 右边有两项组成 第一项 称为漂移项 称为漂移率 第二项 称为扩散项 称为扩散率或波动率 dSa S t dtb S t d ddt a S t dt b S t d b S t a S t Jeffrey Huang 10 几何布朗运动几何布朗运动 与 为常数 此时的随机过程称
7、为几何布朗运动 在Monte Carlo模拟中 几何布朗运动是最常见的用以描述股票价格未来 走势的随机模型 该模型也是Black Scholes期权定价理论的基础 我们就以几何布朗运动为例 介绍在Monte Carlo模拟中如何采用离散化 方法模拟出股票价格未来变化的一条样本轨道或路径 特别地 当 时 上式变为 b S tS a S tS S dS dSSdtSddtd Jeffrey Huang 11 第一步第一步 于是 离散型的几何布朗运动方程为 第一步 将连续布朗运动方程离散化 用 t 和 T 分别表示初始时刻和到期时刻 取任意的正整数 n 将区 间 t T 均匀地分割为 n 等份 则每
8、个小区间的长度为 其中 St 是 t 时刻的股票价格 与 分别表示股票在 t 时刻变化的数 学期望和标准差 是一个标准布朗运动过程 是一个均值为0 方差为1的正态随机变量 Tt t n 1 S 0121 titt i tt i tt i t SStSt in t Jeffrey Huang 12 第二步第二步 第二步 确定股票初始价格 St 借助于股票价格的历史数据并采用合 适的时间序列分析方法估计出参数 与 Jeffrey Huang 13 第三步第三步 第三步 利用计算机生成 n 个相互独立的标准正态随机数 不妨记 为 i i 0 1 2 n 1 于是由上式可得 1 S 01 21 tit
9、t i tt i tt i ti SStSt in Jeffrey Huang 14 第四步第四步 第四步 现在上述的迭代方程中 令 i 0 于是由资产价格的初始 值 St得到 St t 再由 St t生成 St 2 t 以此递推 直到 St n t ST 于是可生成资产价格离散时间序列 St i t i 1 2 n 在 二维平面上可以绘出集合 t i t St i t i 0 1 2 n 中 的各点即可得到一个散点图 用线段依次将这些点连接起来就得到 连续几何布朗运动方程的一个近似的样本轨道 也可以说得到资产 价格未来变化的一个样本轨道 Jeffrey Huang 15 第五步第五步 第五步
10、 不断重复第三步和第四步N次 就可以得到资产价格未来变 化的 N 条样本轨道以及资产价格在到期时刻T的变化分布 i 1 2 N 表示第 i 次模拟的资产在到期时刻的价格 i t S i t S Jeffrey Huang Jeffrey Huang 三 多变量资产价格的随机三 多变量资产价格的随机 模拟模拟 Jeffrey Huang 17 风险因子不相关风险因子不相关 假设资产组合价值受 m 个风险因子Sj t的影响 Sj t仍服从几何布朗 运动 j 1 2 m 如果 m 个风险因子不相关 那么我们按照上文的单变量资产价格随 即模拟的步骤和方法分别独立地对每个风险因子变量进行模拟 其中 对于
11、j 1 2 m j 的取值相互独立 与时间次序也没有 关系 1 S 12 0121 j titj t i tjj t i tjj t i tj i SStSt jm in Jeffrey Huang 18 风险因子相关风险因子相关 遗憾的是 m 个风险因子相关的情况更加多见 那么 如何处理风 险因子相关的情况呢 我们以均值向量为0 协方差矩阵为 R 的 m 维正态随机向量 为例 说明产生多变量随机数的方法 首先 产生一个 m 维相互独立的标准正态随机向量 然后 假设协方差矩阵 R 是正定的 则可用Cholecky因子分解法把矩 阵 R 表示为 R T T 其中T是下三角矩阵 T 是T的转置矩阵
12、 最后 由 m 维相互独立的标准正态随机向量 和下三角矩阵 T 可 构造出随机向量为 T Jeffrey Huang 19 风险因子相关 续 风险因子相关 续 根据正态分布随机变量的性质可知 是均值向量为0的 m 维正态随 机向量 并且其协方差矩阵为 E T T TE T TT R 由于新构造的随机向量 和随机向量 具有相同的联合分布函数 从 而就可以把随机变量 的模拟样本作为 的模拟样本 而要模拟随机向量 的样本 只需要首先独立地生成一个 N 维的标 准正态随机向量再乘以下三角矩阵 T 即可 于是 问题就变成了 如何将协方差矩阵 R 进行Cholesky因子分解以 确定矩阵 T Jeffre
13、y Huang 20 确定矩阵确定矩阵 R 以 m 2 为例介绍Cholesky因子分解法 假设二维协方差矩阵 满足 R TT 的下三角矩阵 其中 为两个服从均值为0的正态随机向量的相关系数 于是 根 据Cholesky因子分解法 二维协方差矩阵 R 可以按照如下形式分解 1 1 R 11 1222 0a T aa 2 111112 1111 22 22 122222 11 221222 01 01 aaaaa a RTT aaaa aaa Jeffrey Huang 21 确定矩阵确定矩阵 R 续 续 根据上式可得方程组 由此求得 于是 得 11 1122 22 1222 1 1 a a a
14、 aa 1 2 2 10 1 T 11 1 2 2 22 10 1 T Jeffrey Huang Jeffrey Huang 四 基于四 基于Monte Carlo模拟模拟 法计算法计算VaR的步骤的步骤 Jeffrey Huang 23 VaR的概括性总结的概括性总结 计算VaR的所有方法 实质上都是围绕着如何估计金融风险因子的变 化分布以及在金融风险因子变化影响下 资产组合的未来损益分布 而展开的 不同之处主要在于采用的估计方法不同 其实 对于如何采用Monte Carlo模拟方法估计资产组合未来损益分 布的问题 我们在前面已经讲述 余下的问题只是正对VaR的计算将 具体实施步骤系统地总
15、结 概括出来 Jeffrey Huang 24 基于基于Monte Carlo模拟法计算模拟法计算VaR的基本步骤的基本步骤 第一步 识别风险因子变量Sj t 其中j 1 2 m 建立资产组 合价值V与风险因子变量 Sj t之间的映射关系 不妨设为 Vt V S1 t S2 t Sm t 第二步 对风险因子未来变化进行随机模拟 得到各个风险因子 变量Sj t未来变化的一条样本轨道 并计算出 Sj t Sj t t Sj t i t Sj t n t Sj T 其中 j 1 2 m 第三步 利用第一步给出的估值公式计算组合价值 Vt V S1 T S2 T Sm T 与 VT VT Vt 第四步
16、 不断重复第三步和第四步N次 就可以得到资产组合损益分 布 第五步 基于损益分布计算置信度 c 下的VaR 这与标准历史模拟法 相同 1 T V 2 T V N T V Jeffrey Huang 25 Monte Carlo模拟法的优点模拟法的优点 第一 采用Monte Carlo模拟法可以产生大量的关于风险因子未来取值 的模拟样本 最大限度地将风险未来变化的各种可能情景模拟出来 而且不必受到历史数据在数量与质量等方面所存在的种种制约 因此 与历史模拟法相比 基于该法所得的结果往往更加精确可靠 第二 Monte Carlo模拟法是一种完全估值法 可以处理非线性 非正 态问题 第三 Monte Carlo模拟法通过选择和建立随机模型 既可以模拟风险 因子未来变化的不同分布和不同行为特征 还可以深入 充分地挖掘 风险因子的历史数据中所包含的各种有益信息 并通过对模型中相关 参数的估计和修正反映到模型中去 从而使得随机模型对风险因子变 化的模拟更加贴近于现实 第四 Monte Carlo模拟法都可以借助于计算机来完成 从而可以大大 提高Monte Carlo模拟法的有效性和精确性 Jeff
