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1、本章整合 第三章数系的扩充与复数的引入 专题1 专题2 专题3 专题4 专题1复数运算中的常用技巧复数的加 减 乘 除运算的实质是实数的加 减 乘 除 复数的加减法是对应实 虚部相加减 而乘法类比多项式的乘法 除法类比根式的分子分母有理化 注意i2 1 在进行复数的运算时 要灵活利用i 的性质 或适当变形创造条件 从而转化为关于i 的计算问题 并注意以下结论的灵活应用 1 i的乘方 i4k 1 i4k 1 i i4k 2 1 i4k 3 i k Z 2 1 i 2 2i 专题1 专题2 专题3 专题4 5 作复数的除法运算时 技巧为 利用此结论可使一些特殊的计算过程简单化 专题1 专题2 专题
2、3 专题4 应用计算 专题1 专题2 专题3 专题4 专题1 专题2 专题3 专题4 专题2代入法 转化与化归思想在复数中 代入法 转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题 或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题 可降低解题难度 简化解题过程 反过来 有时将实数问题 几何问题 三角问题化归为复数问题 也可使问题迎刃而解 应用已知是纯虚数 求z在复平面内对应的点的轨迹 专题1 专题2 专题3 专题4 解 设z x yi x y R 专题1 专题2 专题3 专题4 专题3数形结合的思想由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义 对于复数问题 如能剖析问题中的几何背景 将抽象的数学语言和直观的图形结
3、合起来 就能借助几何图形 活跃解题思路 使解题过程简化 1 复数的几何意义包括三个方面 复数的表示 点和向量 复数的模的几何意义及复数运算的几何意义 复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法 即通过几何图形来研究代数问题 2 任何一个复数z a bi a b R 与复平面内一点Z a b 对应 而任一点Z a b 又可以与以原点为起点 点Z a b 为终点的向量 专题1 专题2 专题3 专题4 3 复数的加法 减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则 由减法的几何意义知 z z1 表示复平面上两点Z Z1间的距离 4 复数形式的基本轨迹 当 z z1 r时 表示复数z对
4、应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心 半径为r的圆 单位圆为 z 1 当 z z1 z z2 时 表示以复数z1 z2的对应点为端点的线段的垂直平分线 专题1 专题2 专题3 专题4 应用复数z满足 z i z i 2 求 z 1 i 的最值 提示 利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释 借助于几何意义求出最值 解 z i z i 2表示复数z的对应点Z与点A 0 1 B 0 1 的距离之和为2 而 AB 2 所以条件表示以A B为端点的线段 而 z 1 i z 1 i 表示点Z到点C 1 1 的距离 因而 问题的几何意义是求线段AB上的点到C点的距离的最大值与最小值 如图 易见 专
5、题1 专题2 专题3 专题4 专题4共轭复数与模的关系共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念 在解决有关的复数问题时 除了用共轭复数的定义与模的计算公式解题外 也常用 应用已知z1与z2是非零复数 且 z1 z2 z1 z2 求证 专题1 专题2 专题3 专题4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 湖南高考 若a b R i为虚数单位 且 a i i b i 则 A a 1 b 1B a 1 b 1C a 1 b 1D a 1 b 1解析 由 a i i b i 得ai 1 b i 所以a 1 b 1 答案 C 1 2 3 4 5 6 7 8 A 0B 2iC 2iD 4i 答案 A 1 2
6、 3 4 5 6 7 8 3 山东高考 复数zi为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 复数z在复平面内对应的点在第四象限 答案 D 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A 1 2 3 4 5 6 7 8 5 上海高考 若是关于x的实系数方程x2 bx c 0的一个复数根 则 A b 2 c 3B b 2 c 1C b 2 c 1D b 2 c 3 答案 D 1 2 3 4 5 6 7 8 根据复数相等的充要条件可得a 5 b 3 故a b 8 答案 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析 由题意可得 3 bi a bi 1 i a b b a i 故a b 3 答案 3
