《2017-2018学年高中数学第三章变化率与导数本章整合新人教A选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第三章变化率与导数本章整合新人教A选修2-1（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章整合 第三章变化率与导数 专题一 专题二 专题三 专题一空间向量与线面的位置关系用向量作为工具来研究几何 真正实现了几何中的形与代数中的数的有机结合 给立体几何的研究带来了极大的便利 不论是证明平行还是证明垂直 只需简单的运算就可以解决问题 专题一 专题二 专题三 应用1如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为AB B1C的中点 1 用向量法证明 平面A1BD 平面B1CD1 2 用向量法证明 MN 平面A1BD 提示 1 面面平行应转化为证明线面平行 2 线面垂直应转化为线线垂直 最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明 此外本题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算
2、去求解 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 应用2四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边 1 求证 AC SD 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 试说明理由 提示 建立恰当的空间直角坐标系 求出所涉及的点及向量的坐标 求证两条直线的方向向量数量积为零 则两条直线垂直 二面角求解 可转化为求法向量的夹角 由平面的法向量垂直于直线的方向向量来证明线面平行 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题
3、三 点评用向量法证明平行 垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 可以建立空间直角坐标系 也可以不建系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 2 通过向量运算研究平行 垂直问题 3 根据运算结果解释相关问题 专题一 专题二 专题三 专题二空间向量与空间角用几何法求异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角时 都需要先作出 或证出 所求空间角的平面角 费时费力 难度较大 而利用向量法 只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解 体现了向量法极大的优越性 专题一 专题二 专题三 应用1如图所示的多面体是由三棱锥A BDE与四棱锥D BCFE拼接而成的 其中EF 平面AEB AE
4、EB AD EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G是BC的中点 1 求异面直线BD与EG所成的角 2 求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值 提示 求解空间角有两种常见思路 若直接能确定或易作出空间角 则直接求解 若不易作出 则考虑采用空间向量的方法 这也是空间向量应用的优势所在 专题一 专题二 专题三 解 方法一 1 EF 平面AEB AE 平面AEB EF AE 又AE EB EB EF E EB EF 平面BCFE AE 平面BCFE 过点D作DH AE交EF于点H 连接BH 则DH 平面BCFE EG 平面BCFE DH EG AD EF DH AE 四边
5、形AEHD是平行四边形 EH AD 2 EH BG 2 又EH BG EH BE BE 2 四边形BGHE为正方形 BH EG 又BH DH H BH 平面BHD DH 平面BHD EG 平面BHD BD 平面BHD 专题一 专题二 专题三 2 AE 平面BCFE AE 平面AEFD 平面AEFD 平面BCFE 由题意可知GH EF GH 平面AEFD DE 平面AEFD GH DE 取DE的中点M 连接MH MG 四边形AEHD是正方形 MH DE MH GH H MH 平面GHM GH 平面GHM DE 平面GHM DE MG GMH是平面DEG与平面AEFD所成的锐二面角的平面角 专题一
6、 专题二 专题三 方法二 1 EF 平面AEB AE 平面AEB BE 平面AEB EF AE EF BE 又AE EB EB EF EA两两垂直 以点E为坐标原点 EB EF EA分别为x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 由已知 得A 0 0 2 B 2 0 0 C 2 4 0 F 0 3 0 D 0 2 2 G 2 2 0 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 点评立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系 一般考虑使用综合几何方法进行证明 然后是与空间角有关的问题 综合几何方法和空间向量方法都可以 但使用综合几何方法要作出空间角的平面角 作图中要伴随着相关的证明 对空
7、间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求 而使用空间向量方法就是求直线的方向向量 平面的法向量 按照空间角的计算公式进行计算 也就是把几何问题完全代数化了 这种方法对运算能力有较高的要求 两种方法各有利弊 在解题中可根据情况灵活选用 专题一 专题二 专题三 应用2在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为棱BB1和DD1的中点 1 求证 平面B1FC1 平面ADE 2 试在棱DC上求一点M 使D1M 平面ADE 3 求二面角A1 DE A的余弦值 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题三空间向量与空间距离空间距离在高考中考查较多
8、的是两点间的距离和点到面的距离 前者主要利用向量的模即两点间的距离公式求解 后者利用平面的法向量代入公式求解 专题一 专题二 专题三 提示 1 由题意可证AD 平面PBC 故AD到平面PBC的距离 就是点A到平面PBC的距离 2 中先分别求出平面AEC和平面DEC的法向量 再利用公式求解 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 专题一 专题二 专题三 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明 D H 平面ABCD 2 求二面角B D A C的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2 201
9、6全国乙高考 如图 在以A B C D E F为顶点的五面体中 面ABEF为正方形 AF 2FD AFD 90 且二面角D AF E与二面角C BE F都是60 1 证明 平面ABEF 平面EFDC 2 求二面角E BC A的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明由已知可得AF DF AF FE 所以AF 平面EFDC 又AF 平面ABEF 故平面ABEF 平面EFDC 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2016全国丙高考 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4
10、 M为线段AD上一点 AM 2MD N为PC的中点 1 证明 MN 平面PAB 2 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2016天津高考 如图 正方形ABCD的中心为O 四边形OBEF为矩形 平面OBEF 平面ABCD 点G为AB的中点 AB BE 2 1 求证 EG 平面ADF 2 求二面角O EF C的正弦值 3 设H为线段AF上的点 且 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5
11、 6 7 8 5 2016北京高考 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD PA PD PA PD AB AD AB 1 AD 2 AC CD 1 求证 PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 3 在棱PA上是否存在点M 使得BM 平面PCD 若存在 若不存在 说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明因为平面PAD 平面ABCD AB AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD 所以PD 平面PAB 2 解 取AD的中点O 连接PO CO 因为PA PD 所以PO AD 又因为PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO
12、平面ABCD 因为CO 平面ABCD 所以PO CO 因为AC CD 所以CO AD 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 2016山东高考 在如图所示的圆台中 AC是下底面圆O的直径 EF是上底面圆O 的直径 FB是圆台的一条母线 1 已知G H分别为EC FB的中点 求证 GH 平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明设FC中点为I 连接GI HI 在 CEF中 因为点G是CE的中点 所以GI EF 又EF OB 所以GI OB 在 CFB中 因为H是FB的中点 所以HI BC 又HI GI I 所以平面GHI 平面
13、ABC 因为GH 平面GHI 所以GH 平面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 2 解法一连接OO 则OO 平面ABC 又AB BC 且AC是圆O的直径 所以BO AC 以O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2016浙江高考 如图 在三棱台ABC DEF中 平面BCFE 平面ABC ACB 90 BE EF FC 1 BC 2 AC 3 1 求证 BF 平面ACFD 2 求二面角B AD F的平面角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 1 证明延长AD BE CF相交于一
14、点K 如图所示 因为平面BCFE 平面ABC 且AC BC 所以AC 平面BCK 因此BF AC 又因为EF BC BE EF FC 1 BC 2 所以 BCK为等边三角形 且F为CK的中点 则BF CK 所以BF 平面ACFD 1 2 3 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解法二如图 延长AD BE CF相交于一点K 则 BCK为等边三角形 取BC的中点O 则KO BC 又平面BCFE 平面ABC 所以 KO 平面ABC 以点O为原点 分别以射线OB OK的方向为x z的正方向 建立空间直角坐标系Oxyz 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2015课标全国 高考 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 点E F分别在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 过点E F的平面 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 2 求直线AF与平面 所成角的正弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 解 1 交线围成的正方形EHGF如图 2 作EM AB 垂足为M 则AM A1E 4 EM AA1 8 因为EHGF为正方形 所以EH EF BC 10
