《2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 保密启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)本试卷共4页满分150分考试时间120分钟注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共60分）一.
2、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足，则| A. B. C. D.2. A. B. C. D.3.设命题P：，则为 A. B. C. D.4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.已知是双曲线C： 上的一点，是C上的两个焦点，若0，则的取值范围是 A. B. C. D.a6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺
3、，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛7.设为所在平面内一点，则 A. B. C. D.8.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 A. B. C. D.9.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 A.5 B.6 C.7 D.8 10.的展开式中，的系数为 A.10 B.20 C.30 D.6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)
4、组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则 A.1 B.2 C.4 D.812.设函数，其中，若存在唯一的整数x0，使得，则的取值范围是( ) A. B. C. D.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13.若函数为偶函数，则14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为 .15. 若x，y满足约束条件，则的最大值为 .16. 在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围
5、是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) （2015年全国课标理1）为数列的前项和.已知()求的通项公式：()设 ，求数列的前项和ABCFED（2015年全国课标1理）18.如图，四边形为菱形，E，F是平面同一侧的两点，BE平面ABCD，,，(1)证明：面AEC面AFC (2)求直线与直线所成角的余弦值19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656
6、.36.8289.81.61469108.8表中，.()根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可)()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据()的结果回答下列问题：（i） 年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为20.(本小题满分12分)在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，()当时，分别求C在点M和N处的切线方程；()轴上是否存在点，使得当变
7、动时，总有？说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()当为何值时，轴为曲线 的切线；()用表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数CDAEBO请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点 （）若为的中点，证明：是的切线；（）若，求的大小.23.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中.直线，圆：，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求的极坐标方程；（
8、）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,求的面积 24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数（）当时，求不等式的解集；（）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案A卷选择题答案一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D二、填空题 （13）1 （14） （15）3 （16）二、 解答题（17）解：（I）由，可知可得 即由于可得又，解得所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为（II）由，设数列的前n项和为，则（18）解：（I）连
9、结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120， 可得AG=GC=.由BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，可得FE=.从而 又因为，所以平面（I） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，为单位长，由（I）可得所以故所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.（19）解： （I）由散点图可以判断，作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 2分 （II）令，先建立y
10、关于w的线性回归方程。由于 ，。所以y关于w的回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 6分 （III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值 年利润z的预报值。 9分 （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 所以当，即x=46.24时，取得最大值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 12分（20）解：（I）有题设可得又 处的导数值为，C在点出的切线方程为 ，即. 所求切线方程为（I） 存在符合题意的点，证明如下： 设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为 故 从而 当b=-a时，有 （21）解：（I）设曲线y=f(
11、x)与x轴相切于点因此，当（II）当1是的零点综上，当（22）解：（I）链接AE，由已知得，在中，由已知得，DE=DC故链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90所以DEC+OEB=90故，DE是得切线（II）设CE=1，AE=X，由已知得，由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即可得，所以（23）解： （I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 5分 （II）将代入，得，解得，。故，即。 由于的半径为1，所以的面积为。 10分（24）解： （I）当时，化为， 当时，不等式化为，无解； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得。 所以的解集为。 5分 （II）由题设可得， 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为。 由题设得，故。 所以a的取值范围为
