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1、导数的应用 函数的最值与导数 知识目标 会用导数求函数的极大值与极小值 以及闭区间上的最值 能力目标 体会导数的方法在研究函数性质中的 一般性和有用性 1 求极值的步骤 一 考点链接 求函数 在 内的极值 求 在 上的最大值与最小值的步骤 求函数 在区间端点 的值 将函数 在各极值与 比较 其中最大的一 个是最大值 最小的一个是最小值 二 基础过关 解 极大值 极小值 图形如下 2 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处有极小值 1 试确定a b的值 并求出f x 的单调区间 分析 f x 在x 1处有极小值 1 意味着f 1 1 且f 1 0 故取点可求a b的值 然后根据求函
2、数单调区间的方法 求出单调区间 略解 单增区间为 1 3 和 1 单间区间为 1 3 1 C D 三 例题讲解 解 令 有 解得 1345413y 0 0 0 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2x 当x 变化时 的变化情况如下表 从表上可知 最大值是13 最小值是4 解 f x 12x3 48x2 60 x 24 令 f x 0 得驻点 x 1 x 2 它们为 f x 可 能的极值点 算出这些点及区间端点处的函数值 12 x 1 2 x 2 f 0 4 f 1 3 f 2 4 f 3 13 将它们加以比较 可知在区间 0 3 上 f x 的最大值 为 f 3 13 最小值为 f
3、 2 4 练习 试求函数 f x 3x4 16x3 30 x2 24x 4在区间 0 3 上的最大值和最小值 例2 已知三次函数f x ax 6ax b 问问是 否存在实实数a b 使f x 在 1 2 上取得最 大值值3 最小值值 29 若存在 求出a b的值值 若不存在 请说请说 明理由 a 2 b 3或a 2 b 29 达标检测 1 若函数 在x 1和x 2取极值 1 求a b的值 2 求在上 的最大值和最小值 分析 导数反应函数在某点处的变化率 它的 几何意义是相应曲线在该点处切线的斜率 2 求函数y ax3 bx2 cx d的图像和y轴相交于 p点 且曲线在p点处的切线方程为12x
4、y 4 0 若函数在x 2处取得极值为0 试确定函数 的解析式 解 y ax3 bx2 cx d 的图像和y轴交点p p的坐标为p 0 d 又 曲线在点p处的切线方程为12x y 4 0且p点的坐 标适合方程 从而d 4 又 k 12 故在x 0处的导数y x 0 12 而 y 3ax2 bx c c 12 又 函数在x 2处取得极值为0 解得 a 2 b 9 所求函数的解析式为y 2x3 9x2 12x 4 3 已知函数 在 处取得极值 1 讨论 和 是函数 的极大值还是极小值 2 过点 作曲线 的切线 求此切线方程 解 依题意 f x 在 上是增函数 f x 在 上是减函数 所以 是极大值 是极小值 2 曲线方程为 点 不在曲线上 设切点为 则点M的坐标满足 因 故切线的方程为 注意到点A 0 16 在切线上 有 所以 切点为 切线方程为 课堂小结 1 求函数f x 的极值 首先求f x 在求 f x 0的根 然后检查方程根左右两侧的 导数符号而作出判定 2 函数f x 在 a b 内的最值求法 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与 f a f b 比较 其中最大的是最大值 最小 的为最小值
