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1、2019-2020学年海南省海口市琼山区海南中学高二上学期期中数学试题一、单选题1已知命题p：，则为 A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案【详解】解：命题p：，则为，故选：D【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键2若向量，且，则实数的值是（ ）AB0CD1【答案】C【解析】先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.【详解】解：由已知，由得：，故选：C.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.3已知平面 ，直线满足，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分
2、也不必要条件【答案】A【解析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】，当时，成立，即充分性成立，当时，不一定成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题4已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据渐近线的方程可求得的关系,再根据与椭圆有公共焦点求得即可.【详解】双曲线C的渐近线方程为,可知,椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,0),所以a2b29,根据可知a24,b25.故选：B
3、.【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.5到定点的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ）ABCD【答案】C【解析】首先设动点，根据两点间距离公式和点到直线距离公式求出，之间的关系即可.【详解】设动点，则点到定点的距离，点到定直线的距离，由题知，整理得.故选：C.【点睛】本题考查了两点间距离公式，点到直线的距离，点的轨迹方程，属于基础题.6一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题中条件，由，表示出向量，然后设在基底下的坐标为，求解，即可.【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，设在基底下的坐标为，所以，有，在基底下的坐标
4、为.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理及其应用，属于基础题.7已知向量,则的最小值为（ ）ABC2D4【答案】C【解析】由空间向量的减法运算可得，再结合空间向量的模的运算即可得解.【详解】解：由向量,所以，则，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故选：C.【点睛】本题考查了空间向量的减法运算，重点考查了空间向量的模的运算，属基础题.8已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为 ABCD【答案】C【解析】利用点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a，b的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可【详解】设，点，椭圆
5、E：，椭圆的离心率为，则，所以，点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：，故选C【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题9在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()ABCD【答案】A【解析】如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,利用空间向量的运算法则求得,即得(x,y,z).【详解】如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,)=-2),-2).因为=3=3(),所以OG=OG1.则)=.故答案为A【点睛】（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对
6、这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.10点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）AB2CD【答案】D【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，A（0，-1）则F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PA|AF|=故答案为：
7、【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.11棱长为2的正方体中，M是的中点，N是的中点，则到平面MNB的距离为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先求出三棱锥的体积，然后再利用等体积法求出到平面的距离即可.【详解】由题知，因为，又因为，又因为，所以到平面的距离.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用等体积法求点到平面的距离，属于基础题.12过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，由
8、得 是的中点，设抛物线的焦点为，则为，也是双曲线的焦点，连接分别是和的中点，为的中位线，于是可得，设，则由抛物线定义得，于是有代入抛物线方程，过点作轴的垂线，由抛物线定义知点到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，变形可得，两边同除以，有，所以（负值已经舍去），故选B.【方法点晴】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利
9、用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.二、填空题13若(，)，则直线AB与平面CDE的位置关系为_【答案】平面或平面【解析】利用平面向量基本定理即可得到直线与平面的位置关系.【详解】由平面向量基本定理可得平面CDE内存在，又因为所以，所以，故直线与平面的位置关系为：平面或平面.故答案为：平面或平面.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题.14抛物线()上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为_【答案】【解析】根据抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，求出焦准距，即可求出抛物线方
10、程.【详解】由题知点M的横坐标是3，点M到焦点的距离是5，所以点M到准线的距离也是5，又因为点M到准线的距离等于，故抛物线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，属于基础题.15将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角的余弦值是_【答案】【解析】首先找到二面角所在三角形，利用余弦定理求出二面角的余弦值.【详解】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,设正方形的边长为，中点为，中点为，连结，又因为所以，又，所以为的二面角，可得，因为，所以，又因为，所以，解得，所以二面角的余弦值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体中二面角的求解，属
11、于基础题.16已知点P是椭圆上任意一点，则当点P到直线的距离达到最小值时，此时P点的坐标为_【答案】【解析】首先求出与椭圆相切的直线的方程，根据直线方程与椭圆方程联立求出点坐标即可.【详解】设直线：，当直线与椭圆相切时，其中一个切点到直线的距离最小，故联立，整理得，相切时，易知当时点到直线的距离最小，代入中，解得，代入中，解得，故点坐标为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于一般题.三、解答题17求与椭圆有共同焦点，且过点的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长焦距离心率以及渐近线方程【答案】，实轴长为4，焦距为10，离心率为，渐近线方程是【解析】首先利用椭圆方程求出焦
12、点坐标，再利用焦点坐标与双曲线上点的坐标求出双曲线方程，根据双曲线方程求出双曲线的实轴长焦距离心率以及渐近线方程.【详解】椭圆的焦点是，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是(，)，又双曲线过点，双曲线的标准方程是，实轴长为4，焦距为10，离心率，渐近线方程是【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，双曲线的标准方程，双曲线基本量的求解，属于基础题.18如图，在直三棱柱中，M为的中点N为上一点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先建立空间直角坐标系，求出，的点坐标，利用空间向量求出夹角；（2）利用求出点坐标，再利用三棱锥的体积计算公式计算即可
13、.【详解】（1）以C为原点建系，CA，CB，为x，y，z轴，则，故异面直线与所成角的余弦值是；（2）设，则，因为，所以，即，解得，故，【点睛】本题主要考查了利用空间向量解决立体几何中夹角和垂直问题，属于一般题.注意，在建立空间直角坐标系时，尽量利用几何体中三垂直的角建系.19已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点(1)求证：；(2)当的面积等于时，求实数的值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】(1)将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为，即可说明两直线垂直；(2)求出直线与轴交点，表示出三角形的面积，根据面积为，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且联立，消去，得如图，设，则，由根与系数的关系可得，因为在抛物线上，所以，因为，所以(2)设直线与轴交于点，令，则，即因为，所以，解得【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式20如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，EF分别为PA，BD的中点（1）证明：平面PBC；（2）若，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；
