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1、安徽大学安徽大学 2011 2012 学年第一学期学年第一学期 高等数学 高等数学 A 三 考试试卷 三 考试试卷 A 卷 卷 院 系 院 系 年级 年级 专业 专业 姓名 姓名 学号 学号 答 题 勿 超 装 订 线 答 题 勿 超 装 订 线 装装 订订 线线 闭卷 闭卷 时间时间 120 分钟分钟 考场登记表序号 考场登记表序号 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 总分 总分 得得 分分 阅卷人阅卷人 得 分得 分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 1 设A为阶可逆矩阵 则下列各式正确的是 n A B 1 2 2A 1 A 11 2 2 TT A
2、A C D 1111 TT AA 11 TTT AA 1 2 若向量组 12 r 可由另一向量组 12 s 线性表示 则下列说法正确的是 A B r rs s C 秩 12 r 秩 12 s D 秩 12 r 秩 12 s 3 设 A B为阶矩阵 且nA与B相似 E为阶单位矩阵 则下列说法正确的是 n A EAEB B A与B有相同的特征值和特征向量 C A与B都相似于一个对角矩阵 D 对任意常数 与kkEA kEB 相似 4 设 123 为 3 R 的一组基 则下列向量组中 可作为 3 R 的另一组基 A 11212 3 B 1212 2 C 12231 3 D 12231 3 5 设 0
3、8P A 0 7P B 0 8P A B 则下列结论正确的是 A 事件A与B互不相容 B AB C 事件A与B互相独立 D P ABP AP B 第 1 页 共 6 页 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 得 分 得 分 6 设 4 阶方阵A的秩为 2 则其伴随矩阵的秩为 A 7 设2 是非奇异矩阵A的一个特征值 则矩阵 1 2 1 3 A 必有一个特征值等 于 8 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 列 为 2 3 k P Xka 则 0 1 2 3k a 9 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 列 为 若 101 0 250 50 25 2
4、 YX 则 1 P Y 10 某车间生产的滚珠直径X服从 2 N 现从产品中随机抽取 6 件 测得平均直径为 14 95x 若已知方差 则平均直径 2 0 06 的置信度为 95 的置信区间 为 1 96 0 975 1 645 0 95 三 计算题 每小题三 计算题 每小题 9 分 共分 共 9 分 分 得 分得 分 11 计算下列行列式 1 2 3 111 10 100 100 n n a a Da a 0 这里 23 0 n a aa 第 2 页 共 6 页 得 分 得 分 答 题 勿 超 装 订 线 答 题 勿 超 装 订 线 装装 订订 线线 四 分析题 每小题四 分析题 每小题 1
5、3 分 共分 共 65 分 分 12 已知线性方程组AX 有无穷多解 其中 11 010 11 a Aa a 2 1 1 求 1 的值 a 2 方程组AX 的通解 13 设二次型 222 1232 2334 3 f Xxxxx x 1 求正交变换XQY 并写出 f X的标准形 2 判定二次型 f X的正定性 第 3 页 共 6 页 14 玻璃杯成箱出售 每箱 8 只 假设每箱含 0 只和 1 只残次品的概率分别为 0 8 和 0 2 一 位顾客欲购一箱玻璃杯 在购买时 售货员随意取一箱 而顾客随机地查看 2 只 若无残 次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 试求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客
6、买下的一箱中 确实没有残次品的概率 第 4 页 共 6 页 15 设 X Y服从以x轴 直线1x 以及yx 围成的三角区域上均匀分布 试判断 X Y的独 立性和相关性 答 题 勿 超 装 订 线 答 题 勿 超 装 订 线 装装 订订 线线 16 假设总体X的密度函数为 0 x ex f x x 是未知参数 1 n XX 为取自X的样本 试求 的矩估计量和最大似然估 计量 第 5 页 共 6 页 得 分得 分 五 证明题 每小题五 证明题 每小题 6 分 共分 共 6 分 分 17 若A为阶方阵 且 证明 n 3 0A AE 为可逆矩阵 第 6 页 共 6 页 安徽大学安徽大学 2011 20
7、12 学年第一学期学年第一学期 高等数学 高等数学 A 三 三 A 卷 考试试题参考答案及评分标准卷 考试试题参考答案及评分标准 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 1 C 2 C 3 D 4 D 5 C 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 6 0 7 3 4 8 27 65 9 0 5 10 14 754 15 146 三 计算题 每小题三 计算题 每小题 9 分 共分 共 9 分 分 11 解 将第 j 列乘上 1 j a 均加到第 1 列上 2 3 jn 得到 1 23 2 3 111 111 00 00 000 n n
8、 n a aaa a D a a 0 0 7 分 123 2 1 n n j j aa a a a 9 分 四 分析题 每小题四 分析题 每小题 13 分 共分 共 65 分 分 12 解 1 增广矩阵 112 0101 111 a Aa a 111 0101 112 a a a 2 111 0101 0112 a a aaa 2 111 0101 0011 a a aa 因为线性方程组AX 有无穷多解 故1a 6分 2 当时 1a 11111013 2 02010201 00000000 A 1013 2 0101 2 0000 故方程组的通解为 第 1 页 共 4 页 31 1 10 2
9、01 X k k为任意常数 13分 13 解 1 二次型的矩阵为 由 200 032 023 A 200 032 2 5 023 EA 1 1 1 得A的特征值为 1 2 2 5 3 1 4分 当 1 2时 解方程 由 2 0EA X 000012 201200 021000 EA 得特征向量 1 0 0 T 取 1 1 0 0 T 当 2 5时 解方程 由 5 0EA X 300100 502201 022000 EA 得特征向量 0 1 1 T 取 2 0 1 2 1 2 T 当 3 1时 解方程 EA X 0 由 100100 022011 022000 AE 得特征向量 0 1 1 T
10、 取 3 0 1 2 1 2 T 于是有正交矩阵 123 Q 和正交变换XQY 使 f 2y12 5y22 y32 10分 2 因为该二次型的正惯性指数为3 故该二次型为正定二次型 13分 14 解 设A 顾客买下该箱玻璃杯 i B 该箱中恰有i个残次品 0 1i 1 由全概率公式有 001 P AP B P A BP B P A B 1 22 87 22 88 0 80 20 95 CC CC 7分 第 2 页 共 4 页 2 由贝叶斯公式有 00 0 001 P B P A B P BA P B P A BP B P A B 1 2 8 2 8 22 87 22 88 0 8 0 842
11、0 80 2 C C CC CC 13分 15 解 设 X Y的联合概率密度函数为 2 0 x yG f x y x yG 0 2 01 0 x X dyx fxf x y dy 其他 2 01 0 xx 其他 同理 1 2 01 0 y Y dxy fyf x y dx 其他 2 1 01 0 yy 其他 因为 XY f x yfx fy 所以 X Y不独立 7分 1 3 1 0 0 12 22 33 EXxxdxx 1 231 0 0 22 2 1 1 33 EYyy dyyy 1 3 x G EXYxydxdyxydy dx 1 00 2 2 11 2 0 000 1 2 2 2 x x
12、 xydy dxxydx 1 24 1 0 0 11 2 24 xx dxx 1 4 12 11 0 43 336 Cov X YEXYEXEY 故 X Y相关 13分 16 解 先求 的矩估计量 1 xx EXxedxexe dx xx exd ee xee d x x 0 x eeeeee 第 3 页 共 4 页 eee 1 1 AX 令 1 A1 则有 1X 即为 的矩估计量 7分 再求 的最大似然估计量 似然函数为 1 1 11 n i ii nnnx x ni ii L xxf xee 1 ln n i i Lnx ln 0 dL n d 即ln L为 的递增函数 又因为对任意的i 有 i x 故 的最大似然估计值为 min i i x 最大似然估计量为 min i i X 13分 五 证明题 每小题五 证明题 每小题 6 分 共分 共 6 分 分 17 证明 由得到 3 0A 3 AEE 即 3分 2 AEAAEE 故 2 AEAAEE 因而AE 可逆 6分 第 4 页 共 4 页
