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1、前 页 后 页 返 回 座钟的钟摆 心电图 第四章 振动 Vibration 1 前 页 后 页 返 回 返回 振动振动 Vibration Vibration 物体 物理量 在某一位置 定值 附近 的往复运动 变化 包括 1 物体 质点 物体或物体的一部分 的振动 机械振动 2 位移X 速度V 交流电流I交流电流U等 电 磁 电流 电压的振动 2 前 页 后 页 返 回 弹簧振子 由轻弹簧 k 和振子 m 组成的理想模型 回复力F F kx 返 回 第一节 简谐振动 simple harmonic motion 弹性回复力 3 前 页 后 页 返 回 一 简谐振动方程The equation
2、 of simple harmonic motion 牛顿第二定律 F kx ma 其中 返 回 加速度 位移对时间的二阶导数 上式是二阶常系数微分方程 其解为 x A cos t 4 前 页 后 页 返 回 简谐振动的速度和加速度方 程 简谐振动 质点的位移x 随时间t 按余弦 或正弦 规律变化 此方程叫简谐振动方程 返 回 x A cos t 1 速度方程方程 V dx dt V A sin t 2 加速度方程 a dv dt A 2cos t 加速度幅值 速度幅值 5 前 页 后 页 返 回 简谐振动的三个特征量是 A 二 简谐振动的特征量 1 Amplitude A 振动物体离开平衡位
3、置的最大 位移量A 称为振幅 描述振动强弱的物理量 2 周期 频率 角频率 皆是描述振动快慢的物理量 1 Period T 质点完成一次全振动所需要的 时间 称为周期 单位 S x A cos t 6 前 页 后 页 返 回 2 2 FrequencyFrequency 质点在单位时质点在单位时 间内完成振动的次数间内完成振动的次数 单位 S 1 3 3 角频率 角频率 质点在质点在2 2 秒内秒内 完成振动的次数完成振动的次数 单位 rad S 1 2 k m T 称为固有周期 称为固有频率 7 前 页 后 页 返 回 3 相位 初相位和相 差 1 Phase t 相或相位 确定振动系统运动
4、状态 即 x v的大小 的物理量 2 Initial Phase t 0 时刻的相位叫初相 x A cos t V A sin t 8 前 页 后 页 返 回 4 特征量大小由什么决定 返 回 V0 A sin t A sin x0 Acos t Acos 2 A 和 由起始时刻物体的运动状态 即t 0 时的位移x0和速度V0 的大小 决定 1 由振动系统本身的性质决定 2 k m 9 前 页 后 页 返 回 两式相除可得 两式平方后相加可得 返 回 V0 A sin t A sin x0 Acos t Acos 10 前 页 后 页 返 回 例 已知弹簧振子的振幅为A 周期为T 设 向右为x
5、正方向 t 0时振子在o点右A 2 且向 正方向运动 写出振动方程 返 回 O X A A t 0 A 2 Acos Cos 1 2 3 V0 A Sin 0Sin 0 3 11 前 页 后 页 返 回 Example 一弹簧振子沿x方向作简谐振动 其振幅 为A 周期为T 且t 0时初位移x0 0且向x轴负方 向运动 则振动方程为 12 前 页 后 页 返 回 例 一个单摆由平衡位置拉开至最左位置 使摆 线与竖直方向成 角 然后放手 任其摆动 设向 右方为S正方向 则初位相为 13 前 页 后 页 返 回 例 一质点在竖直方向作谐振动 设向上为正 方向 在t 0时质点在 处且向下运动 则 初位
6、相为 14 前 页 后 页 返 回 三 简谐振动的矢量图示法 以匀角速 逆时针旋转 大小为A t 0时与x轴的夹角为 旋转矢量 投影 x Acos t 恰是简谐振动方程 所以 匀速旋转矢量的投影运动就是简谐振动 w R x j A 0 x wt x Acos t 15 前 页 后 页 返 回 四 简谐振动的能量 以弹簧振子讨论简谐运动的能量 kA2sin 2 t 1 2 势能 kA2 cos 2 t 1 2 动能 EK m V2 mA2 2sin 2 t 1 2 1 2 2 k m x A cos t V A sin t 16 前 页 后 页 返 回 总能 量 E EK EP 1 2 1 2
7、mA2 2 kA2 E 总能量不变说明总机械能守恒 称此系 统为孤立系统或封闭系统 简谐振动是等幅振动 振幅A 总能量E始 终保持不变 是一种理想模型 返 回 t x 0 17 前 页 后 页 返 回 例 一弹簧振子作简谐振动 总能量为E 若该振子的振动物体质量增为原来的三倍 振幅增为原来的两倍 则总能量变为 A 2EB 9EC 12E D 4ED 4E 18 前 页 后 页 返 回 例 一质量为m 以速度 的 规律振动 则振动系统的总机械能为 19 前 页 后 页 返 回 例 单摆的周期公式 返 回 F S L 单摆的周期 弧位移 S 回复力 F mgsin mgs L 准弹性回复力力 质点
8、在弹性力或准弹性力作用下 产生的振动为简谐振动 20 前 页 后 页 返 回 例 一单摆周期为T 振幅为A t 0时小球过 平衡位置向右运动 若设向右方向为正方向 则振动表达式为 21 前 页 后 页 返 回 第三节 简谐振动的合成 如果一个质点同时参与两个或多个简谐振动 它的 运动就是这些简谐振动的合成 最简单最基本的情况是 1 两个同方向 同频率的简谐振动的合成 其方程为 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 由于同方向 故合位移x是x1和x2的代数和 x x1 x2 A1cos t 1 A2cos t 2 22 前 页 后 页 返 回 x x1 x2 A1cos t 1 A
9、2cos t 2 合振动方程 x A cos t 其中 23 前 页 后 页 返 回 0 A x x2 x A2 x1 x2 A1 矢量图示 法 作分振动x1 x2的 旋转矢量A1 A2 合振动方程 x A cos t A1 A2合矢量A的长 度不变 并以 匀角速转 动 故A在x轴上的投影也 是简谐振动 x x1 x2 A就是合振动所对应的旋转矢量 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 24 前 页 后 页 返 回 0 A x x2 x A2 x1 x2 A1 可见 合振动仍是简谐 振动 其振幅A的大小由 相差 2 1决定 合振动方程 x A cos t x1 A1cos t 1
10、 x2 A2cos t 2 1 两个同方向 同频率的简谐振动的合成 25 前 页 后 页 返 回 合成结果讨论 讨论1 当 0或 2k k 0 1 2 3 时 即两个分振动同相时 其合振幅有最大值 等于 两个分振幅之和 o t x x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 26 前 页 后 页 返 回 讨论2 当 或 2k 1 k 0 1 2 时 即两个分振动反相时 合 振幅有最小值 等于两分 振幅之差 讨论3 当相差 为其他值时 合振幅介于最小值 A1 A2 最大值A1 A2之间 o t x 27 前 页 后 页 返 回 A 20cmB 10cmC 30cm D 0cm 例 某质点
11、参与 及 两个同方向的谐振动 则合振动的振幅为 B 10cm 28 前 页 后 页 返 回 二 同方向 具有倍数频率的简谐振动的 合成 t 0 x T1 T2 T2 3T1 几个具有倍数频率的谐振动的合振动不是谐振 动 但仍然是一个周期振动 合振动的频率与 分振动中的最低频率相等 29 前 页 后 页 返 回 三 谐振 频谱 分 析 1 傅里叶级数 任一周期性的函数x f t 均能被分 解为数目足够多 不同频率及不同振幅的正 余弦函数 的代数合 f t A0 A1cos t A2cos2 t B1sin t B2 sin 2 t 基频 fundamental frequency 分振动的最低频
12、率 原周 期性函数的频率 谐频 harmonic frequency 2 3 4 即 任一周期性振动可分解为若干简谐振动的合成 与原振动频率相同的分振动称为基频振动 其他称 为二次 三次谐频振动 或称倍频 泛频 30 前 页 后 页 返 回 如锯齿形振动按傅里叶级数可展开为 t x 锯齿形振动 31 前 页 后 页 返 回 矩形振动 32 前 页 后 页 返 回 把一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐 振动的方法 称为频谱分析 A 2 3 4 基频 倍频 音色 6 振动谱 作用 频谱分析是脑电图 心电图的基础 利用振动 谱 频谱图 可以诊断疾病 2 振动谱 相对强度随频率分布的图谱 锯齿形振动的振动谱 33 前 页 后 页 返 回 心电频谱图 正常人的心电频谱图正常人的心电频谱图 某冠心病患者的心某冠心病患者的心 电频谱图电频谱图 34 前 页 后 页 返 回 四 相互垂直振动的合成 自主学习 35 前 页 后 页 返 回 小结 弹簧振子 x A cos t V A sin t 2 K m 1 2 1 2 mA2 2 KA2E x0 Acos t Acos V0 A sin t A sin 单摆 2 g L 36 前 页 后 页 返 回 本章习题 4 4 4 6 4 7 4 8 4 9 37
