函数和表示

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1、.word格式.函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念函数映射两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。2.函数的定义域与值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数

2、值的集合称为函数的值域.显然，值域是集合B的子集。温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当xa时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值（4）y=f(x)仅仅是函数符号。3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记

3、做。注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）6、 函数的表示法有： 解析法 、 列表法 、 图像法7、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为

4、分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。例题精讲：考点一：函数与映射概念考查例1 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）xy0(D)xy0(C)xy0(B)xy0(A)练习1：函数的图象与直线x = a 的交点个数 （）A.只有一个 B.至多有一个 C.至少有一个 D.0个练习2：下述两个个对应是到的映射吗？（1） ，；（2），练习3：下列是映射的是（ ）abceabcefabcefgabcefabefg 图1 图2 图3 图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图

5、1、2、3、5函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例2指出下列各函数中，哪个与函数是同一个函数：（1）； （2）； （3）练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）， ；（2），练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），；（2），（3），；（4），（5），（nN*）；考点二：函数定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1） 若f(x)为整式，则其定义域为实数集R（2） 若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合（3） 若f(x)是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。（4） 若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那

6、么函数定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集。（5）例求下列函数的定义域：（）；（）例2 设，求，练习1：函数的定义域为（） AB C D练习2：函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，那么关于的 函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。例如：函数 是由和 复合而成立。2求有关复合函数和抽象函数的定义域(1) 函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合。(2) 函数f(g(x)的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的范围。(3) 已知f(x)的定义域

7、为A，求f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围是A，求出x的取值范围。(4) 已知f(g(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B，求出g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域。(5) 同在对应法则f下的范围相同，即f(t)、f(g(x)、f(h(x)三个函数中的t，g(x)，h(x)的范围相同。例1 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 例2 已知函数的定义域为，求函数的定义域。例3 已知函数的定义域为，求函数的定义域。练习1：已知的定义域是（-2，0），求的定义域.练习2： 若函数的定义域是0，1，求的定义域； 若的定义域是-1，1

8、，求函数的定义域； 已知定义域是，求定义域*例4、设函数f(x)的定义域为0,1,求F(x)=f(x+m)+f(x-m)(m0)的定义域。题型3：定义域的逆向思维问题例1、若函数的定义域是R，求实数a的取值范围？练习1、已知函数的定义域为R，则m的取值范围是？练习2、已知函数的定义域为-3,6,求a,b的值。练习3、(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)判断k为何值时，函数的定义域为R.考点三：求函数值域题型1：函数值域的解法1、 观察法例1、求函数的值域是 练习1、求函数的值域是 练习2、求函数的值域 2、 配方法例1 求二次函数的值域。例2、求函数的值域练习1、求函数的值域练

9、习2、求函数的值域练习3、求 的值域3、图像法（数形结合法）例1、 求的值域。练习1、求函数的值域练习2、求函数的值域4、 换元法例1、 求函数的值域。练习1、求函数的值域练习2、求函数的值域5、 分离常数法例1、求函数的值域练习1、求函数的值域练习2、求的值域。练习3、求函数的值域6、判别式法例1、 求函数的值域。练习1、求函数的值域练习2、求函数的值域7、 反表示法例：求函数的值域。 练习1、求函数的值域。练习2、求函数的值域。8、 中间变量值域法例：求函数的值域。练习1、求函数的值域。练习2、求函数的值域。题型2：函数值域的逆向问题例：求使函数的值域为的a的取值范围。练习1：若函数的最大

10、值为4，最小值为-1，求实数a，b的值。练习2、折A=1,b(b1),函数，当时，f(x)的值域也是A，试求b的值。考点四、函数解析式求法1、 直接代入法例：已知，求练习：已知，求2、 配凑法 例：已知，求的解析式。练习1、已知，求的解析式。练习2、已知，求的解析式。3、 换元法例：已知，求的解析式。练习1、已知，求的解析式。练习2、已知，求的解析式。4、 待定系数法例：一次函数满足，求练习1、已知是二次函数，且，求。5、 特殊值法例：已知对一切，关系式且，求。练习： 对任意实数，有，且，求6、 转化法例：设是定义在上的函数，对一切，均有，当时，求当时，函数的解析式。7、 方程组法例：已知函数

11、满足，求练习1、已知函数满足，求练习2、已知函数满足，求练习3、已知函数满足，求8、 分段求解法例： 已知函数，求的解析式练习： 已知函数，求的解析式考点五、分段函数例1、（ ）A.0 B.e C. D.4例2、设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_例3、已知函数，若f(a)=3，则a的值为 练习1、已知函数，若f(f(0)=4a，则实数a等于 练习2、设函数，则f(x)的值域是 关于分段函数的单调性应注意：(cb)分段函数为单调递增函数；分段函数为单调递减函数；图像变换规律一、平移变换。（左+右-，上+下-）(1)将函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移 m(m0)个单位，得到函数y=f(x + m)的图象;将函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移 m(m0)个单位，得到函数y=f(x - m)的图象.(2)将函数y=f(x)的图象沿y轴向上平 移n(n0)个单位，得到函数y=f(x) + n的图象;将函数y=f(x)的图象沿y轴向下平 移n(n0)个单位，得到函数y=f(x)- n的图象;二、对称变换。(1)将函数y=f(x)的图象关于x 轴对称，得到函数y=-f(x)的图象。(2)将函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，得到函数y=f(-x)的图象。(3)将函数y=f(x)的图象关于原点对称，得到函数y=-f(-x