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1、第七章不等式 7 1不等式及其解法 高考理数 课标 专用 1 2019课标 6 5分 若a b 则 A ln a b 0B 3a0D a b 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 答案C本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性 通过特值法和综合法考查了推理论证能力 考查的核心素养为逻辑推理 a b a b 0 取a b 1 则ln a b 0 故A错误 由y 3x在R上单调递增可知3a 3b 故B错误 由y x3在R上是增函数可知a3 b3 故C正确 取a 0 b 1 则 a b直接得 a b 而致错 2 2018课标 12 5分 设a log0 20 3 b log20 3 则 A a
2、 b ab 0B ab a b 0C a b 0 abD ab 0 a b 答案B本题考查不等式及对数运算 解法一 a log0 20 3 log0 21 0 b log20 3ab ab a b 0 故选B 方法总结比较代数式大小的常用方法 1 作差法 其基本步骤为作差 变形 判断符号 得出结论 用作差法比较大小的关键是判断差的正负 变形常采用配方 因式分解 分子 分母 有理化等方法 2 作商法 即通过判断商与1的大小关系 得出结论 要特别注意当商与1的大小确定后 必须对商式分子 分母的正负进行判断 这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 3 单调性法 利用有关函数的单调性比较大小 4
3、特值验证法 对于一些给出取值范围的题目 可采用特值验证法比较大小 B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一不等式的概念和性质 1 2017山东 7 5分 若a b 0 且ab 1 则下列不等式成立的是 A a log2 a b B log2 a b a C a log2 a b D log2 a b a 答案B本题主要考查利用不等式性质比较大小 特值法 令a 2 b 可排除A C D 故选B 2 2016北京 5 5分 已知x y R 且x y 0 则 A 0B sinx siny 0C 0 答案C函数y 在 0 上为减函数 当x y 0时 y 0 y 0时 不能比较sinx与siny的大小 故
4、B错误 当x 0且y 0时 lnx lny 0 lnxy 0 xy 1 而x y 0 xy 1 故D错误 考点二不等式的解法 2018北京 8 5分 设集合A x y x y 1 ax y 4 x ay 2 则 A 对任意实数a 2 1 A B 对任意实数a 2 1 AC 当且仅当a 0时 2 1 AD 当且仅当a 时 2 1 A 答案D本题主要考查不等式组的解法 元素与集合的关系 若 2 1 A 则有解得a 结合四个选项 只有D说法正确 故选D 易错警示注意区分集合条件中的 或 与 且 本题容易把三个不等式的中间联结词认为是 或 而错选A C组教师专用题组考点一不等式的概念和性质1 2016
5、浙江 8 5分 已知实数a b c A 若 a2 b c a b2 c 1 则a2 b2 c2 100B 若 a2 b c a2 b c 1 则a2 b2 c2 100C 若 a b c2 a b c2 1 则a2 b2 c2 100D 若 a2 b c a b2 c 1 则a2 b2 c2 100 答案D利用特值法验证 令a 3 b 3 c 11 5 排除A 令a 4 b 15 5 c 0 排除B 令a 11 b 10 5 c 0 排除C 故选D 2 2015湖北 10 5分 设x R x 表示不超过x的最大整数 若存在实数t 使得 t 1 t2 2 tn n 则正整数n的最大值是 A 3B
6、 4C 5D 6 答案B若n 3 则即得9 t6 16 当 t 时 有 t 1 t2 2 t3 3 n 3符合题意 若n 4 则即得34 t12 53 当 t 时 有 t 1 t2 2 t3 3 t4 4 故n 4符合题意 若n 5 则即 63 35 故 无解 n 5不符合题意 则正整数n的最大值为4 考点二不等式的解法1 2014课标 9 5分 不等式组的解集记为D 有下面四个命题 p1 x y D x 2y 2 p2 x y D x 2y 2 p3 x y D x 2y 3 p4 x y D x 2y 1 其中的真命题是 A p2 p3B p1 p2C p1 p4D p1 p3 答案B设x
7、 2y m x y n x 2y 则解得 x y x 2y x 2y x y x 2y 0 x 2y的取值范围为 0 故命题p1 p2正确 p3 p4错误 方法总结由a f x y b c g x y d求F x y 的取值范围 可利用待定系数法解决 一般设F x y mf x y ng x y 用恒等变形求得m n 再利用不等式的性质求得F x y 的取值范围 一题多解不等式组表示的平面区域D如图中阴影区域所示 设z x 2y 作出基本直线l0 x 2y 0 经向上平移可知目标直线l z x 2y经过点A 2 1 时z取得最小值0 并且目标直线平移时 在y轴上的截距可以无限增大 z的取值范围
8、为 0 故p1 p2为真 p3 p4为假 故选B 2 2014江苏 10 5分 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 答案 解析要满足f x x2 mx 1 0对于任意x m m 1 恒成立 只需即解得 m 0 考点一不等式的概念和性质1 2018湖南衡阳一模 4 若a b c为实数 且aD a2 ab b2 三年模拟 A组2017 2019年高考模拟 考点基础题组 答案D选项A c为实数 取c 0 得ac2 0 bc2 0 此时ac2 bc2 故选项A不正确 选项B a0 ab 0 0 即 故选项B不正确 选项C a0 a2 ab
9、 又 ab b2 b a b 0 ab b2 故选项D正确 故选D 2 20195 3原创冲刺卷一 13 若f x 表示x 2和3x2 5x 2中的较大者 则函数f x 的最小值是 答案 2 解析在同一直角坐标系中画出函数y x 2和函数y 3x2 5x 2的图象 图略 易知函数f x 的最小值是 2 考点二不等式的解法1 2019河南濮阳3月模拟 7 已知不等式ax2 bx c 0的解集是 x 0 则不等式cx2 bx a 0的解集是 A B C x x D 答案B不等式ax2 bx c 0的解集是 x 0 则 是一元二次方程ax2 bx c 0的实数根 且a0 x2 x 1 0 化为 x
10、1 x 1 0 又0 0 不等式cx2 bx a 0的解集为 故选B 2 2019广东梅州3月模拟 6 关于x的不等式x2 m 2 x 2m 0的解集中恰有3个正整数 则实数m的取值范围为 A 5 6 B 5 6 C 2 3 D 2 3 答案A关于x的不等式x2 m 2 x 2m 0可化为 x m x 2 0 该不等式的解集中恰有3个正整数 不等式的解集为 x 2 x m 且5 m 6 即实数m的取值范围是 5 6 故选A 3 2018河南中原名校联考 13 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 则不等式f x x的解集用区间表示为 答案 3 0 3 解析设x0 因
11、为f x 是奇函数 所以f x f x x2 2x 又f 0 0 于是不等式f x x等价于或解得x 3或 3 x 0 故不等式的解集为 3 0 3 4 20195 3原创冲刺卷一 14 已知介于与之间 则正整数n的值为 答案3 解析因为 1 1 所以1 1 即 1 即 1 得2 n 2 1 所以正整数n 3 B组2017 2019年高考模拟 专题综合题组时间 20分钟分值 30分一 选择题 每题5分 共20分 1 20195 3原创冲刺卷二 10 已知a log23 b log0 20 3 c e 1 则a b c的大小关系是 A c a bB c b aC b c aD b a c 答案B
12、a log23 log22 1 log0 2 b log0 20 3 log0 20 2 所以 b 1 c e 1 所以c b a 故选B 2 2018湘东4月联考 11 若 x R 函数f x 2mx2 2 4 m x 1与g x mx的值至少有一个为正数 则实数m的取值范围为 A 0 4 B 0 8 C 2 5 D 0 答案B当m0 易知f x 的图象的对称轴为直线x f 0 1 0 当 0 即0 m 4时 函数f x 的图象与x轴的交点都在y轴右侧 如图1所示 符合题意 当 0 即m 4时 要满足题意 需f x 的图象在x轴上方 如图2所示 则 4 4 m 2 8m 4 m 8 m 2
13、0 则4 m 8 综上可得0 m 8 故选B 名师点拨易检验m 0时不满足条件 故关键是求m 0时满足条件的范围 m 0时 要讨论f x 的图象相对g x 的图象的位置 此时应从f x 图象的对称轴入手 结合具体图象求解 3 2019湖南湘潭3月联考 4 若不等式4x2 ax 4 0的解集为R 则实数a的取值范围是 A 16 0 B 16 0 C 0 D 8 8 4 2018豫北名校4月联考 10 已知函数f x e1 x e1 x 则满足f x 2 e2 1的x的取值范围是 A x 3B 0 x 3C 1 x eD 1 x 3 答案D f x e1 x e1 x e ex e 令t ex 可
14、得y e 内层函数t ex为增函数 而外层函数y e在t 0 1 上为减函数 在t 1 上为增函数 函数f x e1 x e1 x的单调减区间为 0 单调增区间为 0 又f x e1 x e1 x为偶函数 由f x 2 e2 1 得f x 2 f 1 得 x 2 1 解得1 x 3 故选D 思路分析由已知可得原函数的单调性与奇偶性 把f x 2 e2 1转化为f x 2 f 1 进一步转化为含有绝对值的不等式求解 二 解答题 共10分 5 2019湖北孝感3月模拟 19 设关于x的一元二次方程ax2 x 1 0 a 0 有两个实根x1 x2 1 求 1 x1 1 x2 的值 2 求证 x1 1
15、且x2 1 3 如果 试求a的取值范围 解析 1 关于x的一元二次方程ax2 x 1 0 a 0 有两个实根x1 x2 x1 x2 x1x2 则 1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 1 1 2 证明 由 0 得00 所以f x 的图象与x轴的交点均位于点 1 0 的左侧 故x1 1且x2 1 3 由 2 2 a 又 0 a a的取值范围为 思路分析 1 由一元二次方程根与系数的关系即可得到所求值 2 由方程的判别式大于等于0和对称轴位置 结合f 1 0即可得证 3 运用根与系数的关系和对勾函数的性质 结合a 0 判别式非负 计算即可得到所求范围 C组2017 2019年高考模拟 应
16、用创新题组1 2019福建厦门一模 4 已知a b 0 x a beb y b aea z b aeb 则 A x z yB z x yC z y xD y z x 答案A解法一 由题意 令a 2 b 1 则x 2 e y 1 2e2 z 1 2e 显然有1 2e2 1 2e 2 e 即xb 0时 ea eb aea aeb beb b aea b aeb b beb y z z x b a a b eb a b eb 1 0 z x x z y 故选A 2 2019河南新乡一模 10 定义 区间 a b a b a b a b 的长度均为b a 若不等式 的解集是互不相交区间的并集 则该不等式的解集中所有区间的长度之和为 A B C D 答案B 或方程5x2 27x 26 0有两个根 x1 x2 则原不等式的解集为 该解集区间的长度为 3 故选B 思路分析根据题意 分析可得 或进而求出不等式组的解集 结合区间长度的定义分析可得答案
